Question

[Nguyễn Thị Thu]

cho tam giác ABC vuông tại A.Gọi M là trung điểm của cạnh AC.Vẽ AH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc BC) , gọi D là điểm đối xứng với H qua M.

a. Chứng minh tứ giác AHCD là hình chữ nhật

b. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = HA Tứ giác HECD là hình gì? vì sao?

c. Chứng minh HD vuông góc với BE

d. Cho cạnh AH = 3 cm AC = 5cm Tính diện tích tứ giác AHCD

e. Tính độ dài DE

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Ta có

MA=MC; MH=MD (gt) => AHCD là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

\(\widehat{AHC}=90^o\)

=> AHCD là HCN (Hình bình hành có 1 góc vuông là hình CN)

b/

Ta có ABCD là HCN 

=> CD//AH => CD//HE (1)

CD=AH; AH=HE => CD=HE (2)

=> HECD là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

c/

Ta có

HA=HE => BC là trung tuyến của tg ACE (1)

\(BC\perp AH\Rightarrow BC\perp AE\)=> BC là đường cao của tg ACE (2)

Từ (1) VÀ (2) => tg ACE cân tại C (tg có đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân) => AC=EC

C/m tương tự ta cũng có tg ABE cân tại B => AB=EB

Xét tg ABC và tg EBC có

AB=EB; AC=EC (cmt)

BC chung

=> tg ABC = tg EBC (c.c.c) => \(\widehat{BAC}=\widehat{BEC}=90^o\Rightarrow CE\perp BE\)

Mà HECD là hình bình hành => CE//HD

=> \(HD\perp BE\)

d/

Xét tg vuông AHC có

\(HC=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4cm\)

\(\Rightarrow S_{AHCD}=AH.HC=3.4=12cm^2\)

e/

Ta có AH=HE => AH+HE=2AH=AE=2.3=6 cm

AHCD là HCN => HC=AD=4 cm (cạnh đối HCN)

Xét tg ADE có \(\widehat{DAE}=90^o\)

\(\Rightarrow DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}cm\)