CMR với a,b,c là các số dương ta có (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>= 9 >= đây là dấu lớn hơn hoặc bằng nha
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MH
30 tháng 3 2022
a) Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 3 2022
Lời giải:
a. Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{1}{a}+\frac{a}{4}\geq 1$
$\frac{1}{b}+\frac{b}{4}\geq 1$
$\frac{1}{c}+\frac{c}{4}\geq 1$
Cộng theo vế:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{a+b+c}{4}\geq 3$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{4}\geq 3$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
b.
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{a^2}{c}+c\geq 2a$
$\frac{b^2}{a}+a\geq 2b$
$\frac{c^2}{b}+b\geq 2c$
$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+(c+a+b)\geq 2(a+b+c)$
$\Rightarrow \frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq a+b+c=6$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
N
0
ND
21 tháng 4 2018
a.
Xét hiệu:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-4\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1-4\)
\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\)
\(=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)
Suy ra:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
ND
21 tháng 4 2018
b.
Đặt:
\(A=\)\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+1\)
\(=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+3\) (1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\) (2)
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2\) (3)
\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2\) (4)
Từ (1)(2)(3)(4) cộng vế theo vế, ta được:
\(A\ge3+2+2+2=9\)
=> BĐT luôn đúng
=> \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
xét vế trái ta có (nhân vào )
a/a + a/b + a/c + b/a + b/b + b/c + c/a + c/b +c/c >= 9
<=> 3 + ( a/b +b/a ) + (b/c + c/b )+ (c/a +a/c) >=9
áp dụng bất đẳng thức phụ : a/b + b/a >=2 , b/c + c/b >= 2 , a/c +c/a >=2 ta được
3 +2 +2+2 >=9
=> đpcm
ta CM bất đẳng thức phụ a/b +b/a >=2 nhé !
vì a/b +b/a >=2 nên ta xét hiệu:
a/b + b/c - 2 >= 0
ta quy đồng mẫu các phân số :
<=> a2 /ab + b2/ab - 2ab/ab >= 0
<=> (a2 + b2 - 2ab) / ab = (a-b)2 /ab >=0
dấu = xảy ra khi a-b =0 <=> a=b
nên a/b + b/a - 2 >=0
<=> a/b + b/a >= 2 dấu = xảy ra khi a=b
giúp mk nha mk gấp lắm