Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\Delta\)ABC đều, D\(\in\)AB, DE\(\perp\)AB, E\(\in\)BC
=> \(\Delta\)BDE có các góc với số đo lần lượt là: 300; 600; 900 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE.
Xét \(\Delta\)BDE và \(\Delta\)CEF: ^BDE=^CEF=900; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> \(\Delta\)BDE=\(\Delta\)CEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét \(\Delta\)BDE và \(\Delta\)AFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600; BD=AF => \(\Delta\)BDE=\(\Delta\)AFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900 =>DF\(\perp\)AC (đpcm).
b) Ta có: \(\Delta\)BDE=\(\Delta\)CEF=\(\Delta\)AFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> \(\Delta\)DEF đều (đpcm).
c) \(\Delta\)DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200 (Kề bù)
=> \(\Delta\)PDM=\(\Delta\)MFN=\(\Delta\)NEP (c.g.c) => PM=MN=NP => \(\Delta\)MNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của \(\Delta\)ABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm \(\Delta\)ABC (1)
Do \(\Delta\)ABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: \(\Delta\)OAF; \(\Delta\)OBD và \(\Delta\)OCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE => \(\Delta\)OAF=\(\Delta\)OBD=\(\Delta\)OCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực \(\Delta\)DEF hay O là trọng tâm \(\Delta\)DEF (2)
(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: \(\Delta\)ODP; \(\Delta\)OEN; \(\Delta\)OFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM => \(\Delta\)ODP=\(\Delta\)OEN=\(\Delta\)OFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của \(\Delta\)MNP
hay O là trọng tâm \(\Delta\)MNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => \(\Delta\)ABC; \(\Delta\)DEF và \(\Delta\)MNP có chung trọng tâm (đpcm).
Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300 ; 600 ; 900
=> BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE
=> AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE.
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900 ; BD=CE; ^DBE=^ECF=600 => ΔBDE=ΔCEF (g.c.g)
=> BE=CF
=> BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600 ; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c) => ^BDE=^AFD=900 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt)
=> DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt)
=> DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP
=> DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600
=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của ΔABC, chúng cắt nhau tại O
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác
=> ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
=> OA=OB=OC
Xét 3 tam giác:
ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE: AF=BD=CE ^OAF=^OBD=^OCE
=> ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c) OA=OB=OC => OF=OD=OE
=> O là giao 3 đường trung trực Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đều) Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
=> ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM: OD=OE=OF ^ODP=^OEN=^OFM
=> ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c) OD=OE=OF (Tự c/m) => OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng)
=> O là giao 3 đường trung trực của ΔMNP hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).
1) Ta có: ^BAC+^BAD=^BAC+^CAE=^BAC=900 => ^DAC=^BAE
Xét \(\Delta\)DAC & \(\Delta\)BAE: AD=AB; ^DAC=^BAE; AC=AE => \(\Delta\)DAC=\(\Delta\)BAE (c.g.c)
=> CD=BE (2 cạnh tương ứng)
Gọi CD giao BE tại P, AB giao CD tại Q
Do \(\Delta\)DAC=\(\Delta\)BAE (cmt) => ^D1=^B1 (2 góc tương ứng)
Xét 2 tam giác: \(\Delta\)DAQ và \(\Delta\)BPQ: ^DQA=^BQP (đối đỉnh), ^D1=^B1
=> ^DAQ=^BPQ => ^BPQ=900 hay CD vuông góc với BE.
2) Trên tia đối của AM lấy điểm F sao cho AF=2AM.
Chứng minh được: \(\Delta\)ABM=\(\Delta\)FCM (c.g.c) => AB=FC. Mà AB=AD => FC=AD
=> ^ABM=^FCM (2 góc tương ứng). Mà 2 góc này so le trong => AB//FC
=> ^BAC+^ACF=1800. (1)
Lại có: ^BAC+^BAD+^CAE+^EAD=3600 => ^EAD+^BAC=3600-^BAD-^CAE=1800 (2)
Từ (1) và (2) => ^ACF=^EAD.
Xét \(\Delta\)ACF & \(\Delta\)EAD: AC=EA; ^ACF=^EAD; CF=AD => \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)EAD (c.g.c)
=> AF=DE (2 cạnh tương ứng). Thấy AF=2AM => DE=2AM.
3) Gọi AM cắt DE tại K
Ta có: \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)EAD (cmt) => ^A1=^E1.
Mà ^A1+^EAK=900 => ^E1+^EAK=900 => \(\Delta\)EKA vuông tại K hay AM vuông góc với DE.
4) Có: ^ACH+^HAC=900. Mà ^OAE+^HAC=900 => ^ACH=^OAE hay ^ACM=^OAE.
Xét \(\Delta\)AMC & \(\Delta\)EOA có: AC=AE, ^A1=^E1; ^ACM=^OAE => \(\Delta\)AMC=\(\Delta\)EOA (g.c.g)
=> AM=EO (2 cạnh tương ứng).
Lại có: DE=2AM (cmt) => DE=2EO (O\(\in\)DE) hay là trung điểm của DE (đpcm).
Xét ΔABCΔABC là tam giác đều (gt)
=> {ABCˆ=ACBˆ=BACˆAB=AC=BC{ABC^=ACB^=BAC^AB=AC=BC (tính chất tam giác đều)
Có : ⎧⎩⎨⎪⎪D∈ABE∈BCF∈AC{D∈ABE∈BCF∈AC (gt)
=> ⎧⎩⎨⎪⎪AB=AD+BDAC=CF+CFBC=BE+CE{AB=AD+BDAC=CF+CFBC=BE+CE
Mà : {AD=BE=CFAB=AC=BC{AD=BE=CFAB=AC=BC (cmt)
=> BD=AF=CEBD=AF=CE
Xét ΔADF;ΔBEDΔADF;ΔBED có :
AF=BD(cmt)AF=BD(cmt)
DAFˆ=EBDˆDAF^=EBD^ (gt)
AD=BE(cmt)AD=BE(cmt)
=> ΔADF=ΔBED(c.g.c)ΔADF=ΔBED(c.g.c)
=> DF=DEDF=DE (2 cạnh tương ứng) (1)
Xét ΔADF;ΔCEFΔADF;ΔCEF có :
AF=EC(cmt)AF=EC(cmt)
DAFˆ=FCEˆDAF^=FCE^ (tam giác ABC đều - gt)
DA=FC(cmt)DA=FC(cmt)
=> ΔADF=ΔCEF(c.g.c)ΔADF=ΔCEF(c.g.c)
=> DF=EFDF=EF ( 2 cạnh tương ứng) (2)
- Từ (1) và (2) => DF=DE=EFDF=DE=EF
Xét ΔDEFΔDEF có :
DF=DE=EFDF=DE=EF (cmt)
=> ΔDEFΔDEF là tam giác đều (đpcm)
Ta có: AB = AD +DB (1)
BC = BE + EC (2)
AC = AF + FC (3)
AB = AC = BC ( vì tam giác ABC là tam giác đều) (4)
AD = BE = CF ( giả thiết) (5)
Từ (1), (2), (3) và (4),(5) suy ra: BD = EC = AF
Xét ΔADF và ΔBED, ta có:
AD = BE (gt)
∠A =∠B =60o (vì tam giác ABC đều)
AF = BD (chứng minh trên)
suy ra: ΔADF= ΔBED (c.g.c)
⇒ DF=ED (hai cạnh tương ứng) (6)
Xét ΔADF và ΔCFE, ta có:
AD = CF (gt)
∠A =∠C =60o (vì tam giác ABC đều)
AF = CE (chứng minh trên)
suy ra: ΔADF= ΔCFE (c.g.c)
Nên: DF = FE (hai cạnh tương ứng) (7)
Từ (6) và (7) suy ra: DF = ED = FE
Vậy tam giác DFE đều
Sửa đề △ABC có ^CAB = 120o thì mới chứng minh △DEF đều được.
a, Xét △FDA vuông tại F và △EDA vuông tại E
Có: DA là cạnh chung
^FAD = ^EAD (gt)
=> △FDA = △EDA (ch-gn)
=> DF = DE (2 cạnh tương ứng)
=> △DEF cân tại D (1)
Vì AD là phân giác ^CAB => ^CAD = ^BAD = ^CAB : 2 = 120o : 2 = 60o
Xét △FAD vuông tại F có: ^FAD + ^FDA = 90o (tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông)
=> 60o + ^FDA = 90o => ^FDA = 30o
Mà ^FDA = ^EDA (△FDA = △EDA) => ^EDA = 30o
Ta có: ^FDE = ^FDA + ^EDA = 30o + 30o = 60o (2)
Từ (1) và (2) => △DEF đều
b, Ta có: AI = AF + FI và AK = AE + EK
Mà AF = AE (△FDA = △EDA) ; FI = EK (gt)
=> AI = AK
Xét △IAD và △KAD
Có: AI = AK (cmt)
^IAD = ^KAD (gt)
AD là cạnh chung
=> △IAD = △KAD (c.g.c)
=> ID = KD (2 cạnh tương ứng)
=> △IDK cân tại D
c, AD // CM (gt) => ^DAB = ^CMB (2 góc đồng vị)
Mà ^DAB = 60o => ^CMB = 60o => ^CMA = 60o (3)
Ta có: ^CAM + ^CAB = 180o (2 góc kề bù)
=> ^CAM + 120o = 180o => ^CAM = 60o (4)
Từ (3) , (4) => ^CMA = ^CAM => △CMA cân tại C mà ^CMA = 60o => △MAC đều
=> AC = AM = MC
Vì △ vuông FAD có: ^FDA = 30o (cmt)
=> AD = 2 . AF
=> AD = 2 . (AC - CF)
=> AD = 2 . (CM - CF) = 2 . (m - n)
