Question

[Mai Hà My]

Cho tam giác ABC có góc m, phân giác AD. Từ D kẻ những đường thẳng vuông góc với AB và AC, lần lượt cắt AB, AC ở E và F. Trên EB và FC lấy các điểm K và I sao cho EK = FI.

a) Chứng minh tam giác DEF đều.

b) Chứng minh tam giác DIK cân.

c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại M. Chứng minh tam

giác MAC đều. Tính AD theo CM = m và CF = n

Answer 1

[Nhật Hạ]

Sửa đề △ABC có ^CAB = 120^o thì mới chứng minh △DEF đều được.

a, Xét △FDA vuông tại F và △EDA vuông tại E

Có: DA là cạnh chung

      ^FAD = ^EAD (gt)

=> △FDA = △EDA (ch-gn)

=> DF = DE (2 cạnh tương ứng)

=> △DEF cân tại D   (1)

Vì AD là phân giác ^CAB => ^CAD = ^BAD = ^CAB : 2 = 120^o : 2 = 60^o

Xét △FAD vuông tại F có: ^FAD + ^FDA = 90^o (tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông)

=> 60^o + ^FDA = 90^o  => ^FDA = 30^o  

Mà ^FDA = ^EDA (△FDA = △EDA)  => ^EDA = 30^o

Ta có: ^FDE = ^FDA + ^EDA = 30^o + 30^o = 60^o  (2)

Từ (1) và (2) => △DEF đều

b, Ta có: AI = AF + FI  và AK = AE + EK

Mà AF = AE (△FDA = △EDA) ; FI = EK (gt)

=> AI = AK

Xét △IAD và △KAD 

Có: AI = AK (cmt)

  ^IAD = ^KAD (gt)

   AD là cạnh chung

=> △IAD = △KAD (c.g.c)

=> ID = KD (2 cạnh tương ứng)

=> △IDK cân tại D

c, AD // CM (gt) => ^DAB = ^CMB (2 góc đồng vị)

Mà ^DAB = 60^o  => ^CMB = 60^o  => ^CMA = 60^o  (3)

Ta có: ^CAM + ^CAB = 180^o (2 góc kề bù)

=> ^CAM + 120^o = 180^o   => ^CAM = 60^o   (4)

Từ (3) , (4) => ^CMA = ^CAM => △CMA cân tại C mà ^CMA = 60^o  => △MAC đều 

=> AC = AM = MC

Vì △ vuông FAD có: ^FDA = 30^o (cmt)

=> AD = 2 . AF 

=> AD = 2 . (AC - CF)

=> AD = 2 . (CM - CF) = 2 . (m - n)