Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh...
Đọc tiếp
Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!
Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).
Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:
\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).
Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).
Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng:
a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).
b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).
c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).
Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{a}.\sqrt{a}+\sqrt{b}.\sqrt{c}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge a+\sqrt{bc}\)
Do đó \(\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}=\frac{\sqrt{bc\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\ge\sqrt{abc}\frac{\sqrt{a}}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta được:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{bc}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}=\frac{\sqrt{bc\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}\ge\sqrt{abc}\frac{\sqrt{b}}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}+\frac{ac}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}\left(2\right)\\\sqrt{\frac{ca}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}=\frac{\sqrt{ca\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\ge\sqrt{abc}\frac{\sqrt{c}}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\left(3\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\ge\)
\(\sqrt{abc}\left(\frac{\sqrt{a}}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}+\frac{\sqrt{c}}{\left(c+b\right)\left(a+c\right)}\right)+\)\(\frac{bc}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{ac}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}+\frac{ab}{\left(c+b\right)\left(a+c\right)}\left(4\right)\)
Ta lại có: \(\frac{bc}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{ac}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}+\frac{ab}{\left(c+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\frac{bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)+ab\left(a+b\right)+2abc}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{bc\left(a+b+c\right)+ca\left(a+b+c\right)+ab\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{c\left(a+b+c\right)\left(b+a\right)+ab\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)\left[c\left(a+c\right)+b\left(a+c\right)\right]}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=1\)
\(\left(4\right)\Leftrightarrow\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)\(\ge\sqrt{abc}\left(\frac{\sqrt{a}}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}+\frac{\sqrt{c}}{\left(c+b\right)\left(a+c\right)}\right)+1-\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Do đó ta cần chứng minh \(\sqrt{abc}\left(\frac{\sqrt{a}}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}+\frac{\sqrt{c}}{\left(c+b\right)\left(a+c\right)}\right)+1-\frac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)\(\ge1+\frac{4abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Điều này tương đương với \(\sqrt{a}\left(b+c\right)+\sqrt{b}\left(a+c\right)+\sqrt{c}\left(a+b\right)\ge6\sqrt{abc}\left(5\right)\)
Theo bất đẳng thức AM-GM thì (5) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra khi (1);(2);(3) và (5) xảy ra dấu "=". điều này tương đương với a=b=c
Vậy ta có điều phải chứng minh
=))