Chứng minh \(\left(x+1\right)^2-2\left(x+1\right)+1,01>0\)với mọi x
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 3 2021
Ta có:
\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Ta có:
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}+1\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}\)
Tương tự ...
Cộng lại ta có:
\(2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+6\ge3\left(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}-\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{y}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{z}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{z}{y}}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
BC
1
KV
1 tháng 1
Đặt f(x) = m(1 - x)³.(x² - 4) + x⁴ - 3
⇒ f(x) liên tục trên R
Ta có:
f(-2) = m.(1 - 2)³.[(-2)² - 4] + (-2)⁴ - 3
= 0 + 16 - 3
= 15
f(1) = m.(1 - 1)³.(1² - 4) + 1⁴ - 3
= 0 + 1 - 3
= -2
f(2) = m.(1 - 2)³.(2² - 4) + 2⁴ - 3
= 0 + 16 - 3
= 15
Do f(-2).f(1) = 15.(-2) = -30 < 0
Và f(1).f(2) = -2.15 < 0
⇒ Phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm x₁ và x₂ với mọi m, trong đó x₁ ∈ (-2; 1); x₂ ∈ (1; 2)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 3 2022
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1+m^2\right)\left(x-1\right)^3+x^2-2\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(1\right)=-1< 0\)
\(f\left(2\right)=1+m^2+4-2=m^2+3>0;\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\) với mọi m
Hay pt luôn có ít nhất 1 nghiệm dương với mọi m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 3 2021
Xét hàm \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3\)
Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm liên tục trên R
\(f\left(1\right)=-2< 0\)
\(f\left(-2\right)=13>0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\)
\(f\left(2\right)=13>0\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m
9 tháng 5 2022
\(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên \(\left[-2;-1\right]\)
Ta có \(f\left(-1\right)=-1< 0\) và \(f\left(-2\right)=m^2+2>0\) nên \(f\left(-1\right)f\left(-2\right)< 0\) với mọi m.
Do đó, phương trình \(f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình \(\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3=0\) luôn có nghiệm với mọi m.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2020
- Với \(x=0\Rightarrow144>0\) (đúng)
- Với \(x\ne0\)
\(VT=\left(x-2\right)\left(x-6\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)+57x^2\)
\(=\left(x^2+12-8x\right)\left(x^2+12+7x\right)+57x^2\)
\(=x^2\left[\left(x+\frac{12}{x}-8\right)\left(x+\frac{12}{x}+7\right)+57\right]\)
\(=x^2\left[\left(x+\frac{12}{x}-8\right)^2+15\left(x+\frac{12}{x}-8\right)+57\right]\)
\(=x^2\left[\left(x+\frac{12}{x}-8+\frac{15}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]>0;\forall x\ne0\)
Vậy...