Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi tham số $m$: $m{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \rig...

DN

Dương Nguyễn

15 tháng 3 2022

a. Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của tham số m phương trình $\left(1-m^2\right)x^3-6x=1$ luôn có nghiệmb. CMR với mọi GT của tham số m phương trình $\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}.x+x-4=0$ luôn có nghiệmThầy bày em phương pháp giải dạng này được ko ạ . Em cảm ơn...

Đọc tiếp

#Toán lớp 11

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

15 tháng 3 2022

Tìm 2 giá trị của x để hàm $f\left(x\right)$ nhận kết quả trái dấu là được.

a.

Đặt $f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1$

Hàm $f\left(x\right)$ là hàm đa thức nên liên tục trên R

$f\left(0\right)=-1< 0$ (chọn $x=0$ do nó làm triệt tiêu tham số m, thường sẽ ưu tiên chọn những giá trị x kiểu thế này. Ở câu này, có đúng 1 giá trị x khiến m triệt tiêu nên phải chọn thêm)

$f\left(-1\right)=m^2-1+6-1=m^2+4>0$ với mọi m (để ý rằng ta đã có $f\left(0\right)$ âm nên cần chọn x sao cho $f\left(x\right)$ dương, mà $-m^2$ nên ta nên chọn x sao cho nó chuyển dấu thành $m^2$)

$\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0;\forall m$

$\Rightarrow$ Hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-1;0\right)$ với mọi m

Hay với mọi m thì pt luôn luôn có nghiệm

Đúng(2)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

15 tháng 3 2022

b.

Đặt $f\left(x\right)=\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}x+x-4$

$f\left(x\right)$ là hàm đa thức nên liên tục trên R

$f\left(0\right)=-4< 0$

(Tới đây, nếu ta chọn tiếp $x=3$ để triệt tiêu m thì cho $f\left(3\right)=-1$ vẫn âm, ko giải quyết được vấn đề, nên ta phải chọn 1 giá trị khác. Thường trong những trường hợp xuất hiện $m^2$ thế này, cố gắng chọn x sao cho hệ số của $m^2$ dương (nếu cần $f\left(x\right)$ dương, còn cần $f\left(x\right)$ âm thì chọn x sao cho hệ số $m^2$ âm). Ở đây dễ nhất là chọn $x=2$ , vì khi đó $\left(3-2\right)^{2021}=1$ vừa đảm bảo hệ số $m^2$ dương vừa dễ tính toán, nếu chọn $x=1$ cũng được thôi nhưng quá to sẽ rất khó biến đổi)

$f\left(2\right)=\left(m^2+m+5\right).\left(3-2\right)^{2021}.2+2-4=2\left(m^2+m+5\right)-2$

$=2m^2+2m+8=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{2}>0;\forall m$

$\Rightarrow f\left(0\right).f\left(2\right)< 0;\forall m\Rightarrow$ hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(0;2\right)$ với mọi m

Hay pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Đúng(1)

SG

Sách Giáo Khoa

10 tháng 4 2017

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a) $\left(1-m^2\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3=0$

b) $m\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=2\sin5x+1$

#Toán lớp 11

1

TV

Truong Viet Truong

8 tháng 3 2019

Hỏi đáp Toán

Đúng(0)

DN

Dương Nguyễn

8 tháng 3 2022

a. CMR: Với mọi tham số m phương trình $\left(1-m^2\right)x^3-6x=1$ luôn có nghiệm

b. CMR PT $x^3+2x=4+3\sqrt{3-2x}$ có đúng 1 nghiệm

c. CMR PT $\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5=0$ có nghiệm với mọi m

#Toán lớp 11

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

8 tháng 3 2022

a.

- Với $m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}$ có nghiệm

Đặt $f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1$

- Với $\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0$

$f\left(0\right)=-1< 0$

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]$

$=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty$ dương

$\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-\infty;0\right)$

- Với $-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0$

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty$ dương

$\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(0;+\infty\right)$

Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m

Đúng(1)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

8 tháng 3 2022

b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được

c.

Đặt $f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5$

Do $f\left(x\right)$ là hàm đa thức nên $f\left(x\right)$ liên tục trên R

$f\left(2\right)=4-5=-1< 0$

$f\left(3\right)=6-5=1>0$

$\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0$ với mọi m

$\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m

Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm

Đúng(1)

B

B.Trâm

19 tháng 3 2021

1. Chứng minh phương trình $\left(m^2+1\right)x^3-2m^2x^2-4x+m^2+1=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.2. Cho phương trình :$x^3cos^3x+m\left(x.cosx-1\right)\left(x.cosx+2\right)=0$ CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m3. Cho phương trình $\left(m^2-m+2021\right)x^3-\left(2m^2-2n+4040\right)x^2-4x+m^2-m+2021=0$CMR phương trình có 3 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số...

Đọc tiếp

#Toán lớp 11

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

19 tháng 3 2021

1.

Đặt $f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^3-2m^2x^2-4x+m^2+1$

$f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên R

$f\left(x\right)$ có bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm (1)

$f\left(0\right)=m^2+1>0$ ; $\forall m$

$f\left(1\right)=\left(m^2+1\right)-2m^2-4+m^2+1=-2< 0$ ;$\forall m$

$\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(0;1\right)$ (2)

$f\left(2\right)=8\left(m^2+1\right)-8m^2-8+m^2+1=m^2+1>0$

$\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(1;2\right)$ (3)

$f\left(-3\right)==-27\left(m^2+1\right)-18m^2+12+m^2+1=-44m^2-14< 0$

$\Rightarrow f\left(-3\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-3;0\right)$ (4)

Từ (1); (2); (3); (4) $\Rightarrow f\left(x\right)=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt

Đúng(2)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

19 tháng 3 2021

2.

Đặt $t=g\left(x\right)=x.cosx$

$g\left(x\right)$ liên tục trên R và có miền giá trị bằng R $\Rightarrow t\in\left(-\infty;+\infty\right)$

$f\left(t\right)=t^3+m\left(t-1\right)\left(t+2\right)$

Hàm $f\left(t\right)$ xác định và liên tục trên R

$f\left(1\right)=1>0$

$f\left(-2\right)=-8< 0$

$\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(t\right)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-2;1\right)$

$\Rightarrow f\left(x\right)=0$ luôn có nghiệm với mọi m

Đúng(2)

LS

Light Stars

9 tháng 3 2022

Với mọi giá trị của tham số m , chứng minh phương trình $x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1=0$ luôn có ít nhất 3 nghiệm thực.

#Toán lớp 11

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

9 tháng 3 2022

Đặt $f\left(x\right)=x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1$

Hàm $f\left(x\right)$ liên tục trên R

$f\left(0\right)=-1< 0$

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)$

$=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=+\infty.1=+\infty$

$\Rightarrow$ Luôn tồn tại $a>0$ sao cho $f\left(a\right)>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(a\right)< 0\Rightarrow$ pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(0;+\infty\right)$

$f\left(-1\right)=m^2+1>0;\forall m\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow$ pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-1;0\right)$

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^5\left(1+\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{m^2+2}{x^4}-\dfrac{1}{x^5}\right)=-\infty.1=-\infty$

$\Rightarrow$ Luôn tồn tại $b< 0$ sao cho $f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(b\right).f\left(-1\right)< 0\Rightarrow$ pt luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-\infty;-1\right)$

Vậy pt đã cho luôn có ít nhất 3 nghiệm thực

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thanh Trúc

10 tháng 3 2022

có dấu hiệu nào để mình biết xét từ khoảng nào kh ạ?

Đúng(0)

MA

Mai Anh

28 tháng 2 2022

Chứng minh rằng phương trình:

$5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6=0$ luôn có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của tham số m

#Toán lớp 11

0

MA

Mai Anh

1 tháng 3 2022

Chứng minh rằng phương trình:

$5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6=0$ luôn có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của tham số m

#Toán lớp 11

0

MA

Mai Anh

1 tháng 3 2022

Chứng minh rằng phương trình:

$5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6=0$ luôn có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của tham số m

#Toán lớp 11

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

1 tháng 3 2022

Đặt $f\left(x\right)=5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6$

Hàm số liên tục trên R

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\right)$

$=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(5+\dfrac{2m-1}{x}+\dfrac{m+6}{x^3}\right)=-\infty< 0$

$\Rightarrow$ Luôn tồn tại 1 số thực $a< 0$ sao cho $f\left(a\right)< 0$

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left(5+\dfrac{2m-1}{x}+\dfrac{m+6}{x^3}\right)=+\infty.5=+\infty>0$

$\Rightarrow$ Luôn tồn tại 1 số thực $b>0$ sao cho $f\left(b\right)>0$

$\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b) với mọi m

Đúng(0)

LH

Lê Hồng Anh

18 tháng 3 2021

Với mọi giá trị của tham số m , chứng minh phương trình $x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thực.

#Toán lớp 11

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

18 tháng 3 2021

Đặt $f\left(x\right)=x^5+x^2-\left(m^2+2\right)x-1\Rightarrow f\left(x\right)$ liên tục trên R

Ta có: $f\left(0\right)=-1< 0$

$f\left(-1\right)=m^2+1>0$ ; $\forall m$

$\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0$ ;$\forall m$

$\Rightarrow f\left(x\right)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left(-1;0\right)$ (đpcm)

Đúng(2)

CD

Candy Đặng

26 tháng 2 2022

nếu bài này mà chứng minh có 3 nghiệm thì mình phải làm như thế nào ạ..?

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP