Chứng minh tỉ lề thức. Cho các số a, b, c, d thõa mãn a/b=c/d, chứng minh a^3+c^3/b^3+d^3=(a+c)^3/(b+d)^3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KA
1
16 tháng 7 2017
đặt:
\(S=\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a+b+c+d}=\frac{a^3}{a+b+c+d}+\frac{b^3}{a+b+c+d}+\frac{c^3}{a+b+c+d}+\frac{d^3}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{a^4}{a^2+ab+ac+ad}+\frac{b^4}{ab+b^2+bc+bd}+\frac{c^4}{ac+bc+c^2+cd}+\frac{d^4}{ad+bd+cd+d^2}\)
áp dụng bất đẳng thức schwarts ta có:
\(S\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}\)
áp dụng bất đẳng thức bunhicốpski ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\left(1+1+1+1\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\Rightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}\ge\frac{4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}}{4}=\frac{4.1}{4}=1\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge a+b+c+d\)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1
HQ
15 tháng 2 2021
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
HQ
15 tháng 2 2021
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
NT
2
28 tháng 10 2018
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)
Ta có:\(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^3=\left(\dfrac{bk+b}{dk+d}\right)^3=\left(\dfrac{b.\left(k+1\right)}{d.\left(k+1\right)}\right)^3=\dfrac{b^3}{d^3}\)(1)
Lại có :\(\dfrac{a^3+b^3}{c^3+d^3}=\dfrac{b^3k^3+b^3}{d^3k^3+d^3}=\dfrac{b^3.\left(k^3+1\right)}{d^3.\left(k^3+1\right)}=\dfrac{b^3}{d^3}\)(2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
28 tháng 10 2018
Từ a/b=c/d
=>a/c=b/d=a+b/c+d
<=>a^3/c^3=b^3/d^3=(a+b)^3(c+d)^3
=a^3+b^3/c^3+d^3
Vậy
(a+b)^3(c+d)^3=a^3+b^3/c^3+d^3 (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2023
Đặt \(a^3+b=c^3+d=m^3+n=k\)
\(a^3\equiv a\left(mod3\right)\Rightarrow a^3+b\equiv a+b\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow a+b\equiv k\left(mod3\right)\)
Tương tự: \(c+d\equiv k\left(mod3\right)\) ; \(m+n\equiv k\left(mod3\right)\)
Lại có:
\(b^3\equiv b\left(mod3\right)\Rightarrow b^3+a\equiv a+b\left(mod3\right)\)
Tương tự ...
\(\Rightarrow Q\equiv a+b+c+d+m+n\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow Q\equiv k+k+k\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow Q\equiv3k\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow Q⋮3\)
Mà hiển nhiên Q>3 nên Q là hợp số
C
24 tháng 3 2023
Anh giúp em ạ! Không biết là ra 46666200 hay là 9333240 ạ anh, em đang bị rối 1 chỗ anh giúp em xong rồi em hỏi anh ạ
https://hoc24.vn/cau-hoi/goi-s-la-tap-hop-tat-ca-cac-so-tu-nhien-gom-5-chu-so-doi-mot-khac-nhau-duoc-lap-tu-cac-chu-so-5-6-7-8-9-tinh-tong-tat-cac-so-thuoc-tap-s.7818057294758
1 tháng 4 2023
=>5(a^3+b^3+c^3+d^3)=18(c^3+d^3)
=>5(a^3+b^3+c^3+d^3) chia hết cho 6
=>a^3+b^3+c^3+d^3 chia hêt cho 6
a^3-a=a(a+1)(a-1) chia hết cho 3!=6
b^3-b=b(b+1)(b-1) chia hết cho 3!=6
c^3-c=c(c+1)(c-1) chia hết cho 3!=6
d^3-d=d(d+1)(d-1) chia hết cho 3!=6
=>a^3+b^3+c^3+d^3-a-b-c-d chia hết cho 6
=>a+b+c+d chia hết cho 6
VA
b,Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn :5(a^3+b^3)=13(c^3+d^3).Chứng minh (a+b+c+d) cchia hết cho 6
0
ND
1
31 tháng 10 2017
Cho tỉ lệ thức: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^3}{c^3}=\frac{\left(2a-b\right)^3+b^3}{\left(2c-d\right)^3+d^3}\)
BÀI LÀM:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
Ta có: \(\frac{\left(2a-b\right)^3+b^3}{\left(2c-d\right)^3+d^3}=\frac{\left(2bk-b\right)^3+b^3}{\left(2dk-d\right)^3+d^3}=\frac{b^3.\left(2k-1\right)^3+b^3}{d^3.\left(2k-1\right)^3+d^3}=\frac{b^3.\left[\left(2k-1\right)^3+1\right]}{d^3.\left[\left(2k-1\right)^3+1\right]}=\frac{b^3}{d^3}\left(1\right)\)
Vì \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{c^3}{d^3}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a^3}{c^3}=\frac{\left(2a-b\right)^3+b^3}{\left(2c-d\right)^3+d^3}\left(đpcm\right)\)
AL
4 tháng 4 2021
Cách 1:
Ta xét tích a(c-d) và c(a-b)
Ta có: a(c-d)=ac-ad (1)
c(a-b)=ac-bc(2)
Ta lại có \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{d}\)=>ad=bc (3)
Từ (1), (2), (3) ta có a(c-d)=c(a-d). Do đó \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)
Cách 2:
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)=k thì a=bk, c=dk.
Xét \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{bk}{bk-b}=\dfrac{bk}{b\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\left(1\right)\)
Xét \(\dfrac{c}{c-d}=\dfrac{dk}{dk-d}=\dfrac{dk}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{k}{k-1}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)=> \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)
Cách 3: Ta có
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=>\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Aps dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=>\dfrac{a-b}{c-d}\)
=>\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{a-b}{c-d}=>\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)
4 tháng 4 2021
Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}-1=\dfrac{d}{c}-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{d-c}{c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{c-d}{c}\)
hay \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\)(đpcm)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^3=\left(\frac{c}{d}\right)^3=\frac{a^3}{b^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+c^3}{b^3+d^3}\left(1\right)\)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{\left(a+c\right)^3}{\left(b+d\right)^3}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^3+c^3}{b^3+d^3}=\frac{\left(a+c\right)^3}{\left(b+d\right)^3}\left(dpcm\right)\)