Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 - 3 m x 2 + 4 m 3 có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x ?
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+ Đạo hàm : y’ = 3x2- 6mx
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m≠ 0.
+ Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A( 0; 4m3) ; B( 2m; 0) ; A B → = ( 2 m ; - 4 m 3 )
Trung điểm của đoạn AB là I (m; 2m3).
+ Điều kiện để đối xứng nhau qua đường thẳng x- y= 0 hay y= x là AB vuông góc với đường thẳng y= x và I ∈ ( d ) ⇔ 2 m - 4 m 3 = 0 2 m 3 = m
⇔ m = 0 h o ặ c m = ± 2 2
Kết hợp với điều kiện ta có: m = ± 2 2 .
Chọn D.
Chọn D
y ' = 3 x 2 - 6 m x
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ≠ 0
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là
Trung điểm của đoạn AB là I ( m ; 2 m 3 )
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng
( d ) : y = x v à I ∈ ( d )
Kết hợp với điều kiện ta có m = ± 2 2
Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)
Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)
Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)
=> Các điểm cực trị là :
\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :
\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)
A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
gợi ý :
Tìm giá trị của \(m\) để hàm số có cực đại ,cực tiểu .
+ Đạo hàm y’ = -3x2+ 6x+ 3( m2-1) = -3( x2- 2x-m2+1).
Đặt g( x) = x2- 2x-m2+1 là tam thức bậc hai có ∆ ' = m 2 .
+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ =0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x) =0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' > 0 ⇔ m ≠ 0 . (1)
+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1±m .
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m3) và B( 1+m ; -2+ 2m3).
Ta có:
O A → ( 1 - m ; - 2 - 2 m 3 ) ⇒ O A 2 = ( 1 - m ) 2 + 4 ( 1 + m 3 ) 2 . O B → ( 1 + m ; - 2 + 2 m 3 ) ⇒ O B 2 = ( 1 + m ) 2 + 4 ( 1 - m 3 ) 2 .
Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA= O B hay OA2= OB2
( 1 - m ) 2 + 4 ( 1 + m 3 ) 2 = ( 1 + m ) 2 + 4 ( 1 - m 3 ) 2 ⇔ - 4 m + 16 m 3 = 0
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ m = ± 1 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
Chọn D
Ta có y ' = 3 x 2 - 6 m x + m - 1
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Điều này tương đương
Hai điểm cực trị có hoành độ dương
Vậy các giá trị cần tìm của m là m >1
Đáp án là A.
Ta có: y , = 3 x 2 - 6 m x = 0 ⇔ x = 0 x = 2 m
Để đồ thị hàm số có 2 cực trị thì m ≢ 0 suy ra A(0; 4 m 8 ),B(2m;0)
YCBT, ta có m = ± 1 2