Chứng minh : \(n^6+n^4-2.n^2\) chia hết cho 72 (với mọi n)
tớ đang cần gấp lắm
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
2
21 tháng 3 2020
Xét thường hợp n là số chẳn:
Đặt \(n=2k\left(k\inℕ^∗\right)\)
Khi đó \(\left(n+3\right)\left(n+6\right)=\left(2k+3\right)\left(2k+6\right)\)
\(=\left(2k+3\right)\left(2+3\right).2⋮2\)
Do đó \(\left(n+3\right)\left(n+6\right)⋮2\)
Xét trường hợp n là số lẻ:
Đặt \(n=2k+1\left(k\inℕ^∗\right)\)
khi đó: \(\left(n+3\right)\left(n+6\right)=\left(2k+1+3\right)+\left(2k+1+6\right)\)
\(=\left(2k+4\right)+\left(2k+7\right)=\left(2k+2.2\right)\left(2+3\right)\)
\(=2\left(k+2\right)\left(2+3\right)⋮2\)
\(\Rightarrowđpcm\)
21 tháng 3 2020
bạn ơi,cảm ơn nha nhưng tại sao (2k+3)(2k+6)=(2k+3)(2+3).2 vậy???
30 tháng 7 2020
Bài 8:
a) Ta có: \(2^9-1=\left(2^3-1\right)\cdot\left(2^6+2^3+1\right)\)
\(=7\cdot\left(64+8+1\right)=7\cdot73⋮73\)(đpcm)
b) Ta có: \(5^6-10^4=5^4\cdot5^2-5^4\cdot2^4=5^4\left(5^2-2^4\right)\)
\(=5^4\left(25-16\right)=5^4\cdot9⋮9\)(đpcm)
c) Ta có: \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)
\(=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)\)
\(=4\cdot\left(2n+2\right)=4\cdot2\cdot\left(n+1\right)=8\left(n+1\right)⋮8\)(đpcm)
d) Ta có: \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)
\(=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)\)
\(=12\cdot2n=24n⋮24\)(đpcm)
4 tháng 3 2020
a, Ta có : n (n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2
=> n ( n + 1 ) chia hết cho 2
b, Ta có : n ( n + 1 ) ( n + 2 ) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3
Mà ( 2,3 ) = 1
=> n ( n + 1 ) ( n + 2 ) chia hết cho 6
TD
6 tháng 4 2020
a, Ta có : n (n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2
=> n ( n + 1 ) chia hết cho 2
b, Ta có : n ( n + 1 ) ( n + 2 ) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3
Mà ( 2,3 ) = 1
=> n ( n + 1 ) ( n + 2 ) chia hết cho 6
HL
3 tháng 12 2017
Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2)
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1)
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1]
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2)
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2)
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N)
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1)
Suy ra A chia hết cho 8
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N)
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2)
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3)
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp
Suy ra A chia hết cho 8
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72.
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1).
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72.
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.
2 tháng 8 2020
Bài 3:
a) Ta có: \(\left(3n-1\right)^2-4\)
\(=\left(3n-1-2\right)\left(3n-1+2\right)\)
\(=\left(3n-3\right)\left(3n+1\right)\)
\(=3\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(3n+1\right)⋮3\forall n\in N\)(đpcm)
b) Ta có: \(100-\left(7n+3\right)^2\)
\(=\left[10-\left(7n+3\right)\right]\left[10+\left(7n+3\right)\right]\)
\(=\left(10-7n-3\right)\left(10+7n+3\right)\)
\(=\left(7-7n\right)\left(13+7n\right)\)
\(=7\cdot\left(1-n\right)\cdot\left(13+7n\right)⋮7\forall n\in N\)(đpcm)
c) Ta có: \(\left(3n+1\right)^2-25\)
\(=\left(3n+1-5\right)\left(3n+1+5\right)\)
\(=\left(3n-4\right)\left(3n+6\right)\)
\(=3\cdot\left(3n-4\right)\cdot\left(n+2\right)⋮3\forall n\in N\)(đpcm)
d) Ta có: \(\left(4n+1\right)^2-9\)
\(=\left(4n+1-3\right)\left(4n+1+3\right)\)
\(=\left(4n-2\right)\left(4n+4\right)\)
\(=2\cdot\left(2n-1\right)\cdot4\cdot\left(n+1\right)\)
\(=8\cdot\left(2n-1\right)\cdot\left(n+1\right)⋮8\forall n\in N\)(đpcm)
16 tháng 11 2021
Đây là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1\cdot2\cdot3\cdot4=24\)
Mà 24 chia hết cho 3 và 8 nên n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 3 và 8
2 tháng 10 2021
Bài 1:
Ta có: \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)
\(=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n\)
\(=6n⋮6\)
2 tháng 10 2021
1) \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n=6n⋮6\forall n\in Z\)
2) \(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1=3n-2n^2-4n^2+3n+1-1=-6n^2+6n=6\left(-n^2+n\right)⋮6\forall n\in Z\)
LV
1
PN
19 tháng 1 2016
Mình giải rồi nhé!
http://olm.vn/hoi-dap/question/387080.html
Ta có:
\(A=n^6+n^4-2n^2=n^2\left(n^4+n^2-2\right)=n^2\left(n^4+2n^2-n^2-2\right)=n^2\left[n^2\left(n^2+2\right)-\left(n^2+2\right)\right]=n^2\left(n^2+2\right)\left(n^2-1\right)\)
Lại có: \(72=8.9\)
Mà \(\left(8,9\right)=1\) nên ta xét các trường hợp:
+ Với \(n=2k\) thì \(A=\left(2k^2\right)\left(4k^2+2\right)\left(2k+1\right)\left(2k-1\right)=8k^2\left(2k^2+1\right)\left(2k+1\right)\left(2k-1\right)\) chia hết cho \(8\)
+ Với \(n=2k+1\) thì \(A=\left(2k+1\right)^2\left[\left(2k+1\right)^2+2\right]\left[\left(2k+1\right)^2-1\right]=4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)^2\left(4k^2+4k+3\right)\) chia hết cho \(8\)
Tương tự xét các trường hợp \(n=3q\) \(,\) \(n=3q+1\)\(,\)\(n=3q-1\) để chứng minh \(A\) chia hết cho \(9\)
Vậy, \(A\) chia hết cho \(8.9\) hay \(A\) chia hết cho \(72\)