Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có: AM//BD
=> \(\dfrac{AM}{BD}=\dfrac{AF}{FB}\)
Xét tam giác ACB có CF là đường phân giác góc C
=> \(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AF}{BF}\) (theo t/chất đường phân giác trong tam giác)
=> \(\dfrac{AM}{BD}=\dfrac{AC}{BC}\)
Gọi K là giao điểm của 3 đg pg trong tg ABC
Do AD ,BE ,CF lần lượt là các đg pg của tg ABC nên ta có:
\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\) => AB.DC=AC.BD ; (*)
\(\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{AC}\) ; (1)
\(\frac{AF}{BF}=\frac{AC}{BC}\) ;(2)
Mặt khá: MN//BC (gt) => tg ANE\(\infty\)tg CDE (Ta-lét) =>\(\frac{AN}{DC}=\frac{AE}{EC}\) (3)
và tg AMF \(\infty\)tg BDF (Ta-lét) => \(\frac{AM}{BD}=\frac{AF}{BF}\) (4)
Từ (1),(3)=>\(\frac{AN}{DC}=\frac{AB}{BC}=>AN.BC=AB.DC\) (**)
Từ (2),(4)=> \(\frac{AM}{BD}=\frac{AC}{BC}=>AM.BC=AC.DB\) (***)
Từ (*),(**),(***)=> AN.BC=AM.BC=> AM=AN . Mà M,A,N thẳng hàng nên A là t/đ của MN (đpcm)
Lời giải:
a) Áp dụng định lý Talet cho:
Tam giác $CFD$ có $AM\parallel FD$:
$\frac{DF}{AM}=\frac{CD}{CM}(1)$
Tam giác $ABM$ có $ED\parallel AM$:
$\frac{ED}{AM}=\frac{BD}{BM}(2)$
Lấy $(1)+(2)\Rightarrow \frac{DE+DF}{AM}=\frac{CD}{BC:2}+\frac{BD}{BC:2}=\frac{BC}{BC:2}=2$
$\Rightarrow DE+DF=2AM$
Vì $AM$ không đổi khi $D$ di động nên $DE+DF$ không đổi khi $D$ di động
b) Dễ thấy $KADM$ là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song. Do đó $KA=DM$
Áp dụng định lý Talet cho trường hợp $AK\parallel BD$:
$\frac{KE}{ED}=\frac{KA}{BD}=\frac{DM}{BD}(3)$
Lấy $(1):(2)$ suy ra $\frac{DF}{ED}=\frac{CD}{BD}$
$\Rightarrow \frac{EF}{ED}=\frac{CD}{BD}-1=\frac{CD-BD}{BD}=\frac{CM+DM-(BM-DM)}{BD}=\frac{2DM}{BD}(4)$
Từ $(3);(4)\Rightarrow \frac{2KE}{ED}=\frac{EF}{ED}$
$\Rightarrow 2KE=EF\Rightarrow FK=EK$ hay $K$ là trung điểm $EF$
