\(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{100}\)
Hãy chứng minh rằng tổng A không là số tự nhiên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ML
9 tháng 3 2017
Để quy đồng các mẫu của các phân số trong tổng A = \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\), ta chọn mẫu chung là tích của 26 với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100 . Gọi k1 , k2 , ... k100 là các thừa số phụ tương ứng , tổng A có dạng : B = \(\frac{\left(k1+k2+k3+...+k100\right)}{2^6.3.5.7....99}\)
Trong 100 phân số của tổng A chỉ có duy nhất phân số \(\frac{1}{64}\)có mẫu chứa 26 nên trong các thừa số phụ k1 , k2 , ... , k100 chỉ có k64 ( thừa số phụ của \(\frac{1}{64}\)) là số lẻ ( bằng 3.5.7...99 ) , còn các thừa số phụ khác đều chẵn ( vì chứa ít nhất một thừa số 2 ) do đó B ( tức là A ) không thể là số tự nhiên
18 tháng 4 2019
Ta có: \(\frac{1}{2^2}>0\)
\(\frac{1}{3^2}>0\)
................
\(\frac{1}{100^2}>0\)
\(\Rightarrow A>0\left(1\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
...................
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{100}< 1\)
\(\Rightarrow A< 1\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow0< A< 1\)
Vậy A ko là STN.
MN
18 tháng 4 2019
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)
...
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=1-\frac{1}{100}\)
\(=\frac{99}{100}< 1\)
Vậy A không phải là một số tự nhiên
KM
18 tháng 3 2017
bạn chỉ cần lấy 1/100-1 là sẽ ra
nhớ tích và kết bạn với tớ nhé
WR
15 tháng 6 2015
ra quy đồng các số hạng của A
ta chọn mẫu số chung là 2^6.1.3.5....99(do 2^7>100)
gọi k1,k2,...,k100 là các thừa số phụ tượng ứng
A có dạng k1+k2+...+k100/1.3.5.7..99.2^6
trong 100 phân số của A chỉ có duy nhất phân số 1/64 có mẫu số chứa 2^6neen trong các thừa số phụ k1,k2,..,k100 chỉ có k64=1.3.5...99 (là số lẻ) các thừa số phụ khác là số chẵn (vì có chứa ít nhất 1 thừa số 2)
do đó A khi quy đồng có tử số không chia hết cho 2 , mẫu số không chia hết cho 2=>A không là số tự nhiên
vậy A không là số tự nhiên (đpcm)
S
18 tháng 3 2018
a,Ta có: \(\frac{3}{10}=\frac{3}{10};\frac{3}{11}< \frac{3}{10};\frac{3}{12}< \frac{3}{10};\frac{3}{13}< \frac{3}{10};\frac{3}{14}< \frac{3}{10}\)
\(\Rightarrow S< \frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}=1,5\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{3}{10}>\frac{3}{15};\frac{3}{11}>\frac{3}{15};\frac{3}{12}>\frac{3}{15};\frac{3}{13}>\frac{3}{15};\frac{3}{14}>\frac{3}{15}\)
\(\Rightarrow S>\frac{3}{15}+\frac{3}{15}+\frac{3}{15}+\frac{3}{15}+\frac{3}{15}=\frac{15}{15}=1\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => 1 < S < 1,5
Vậy...
b, \(A=\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+...+\frac{1}{100}\)
\(=\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+...+\frac{1}{80}\right)+\left(\frac{1}{81}+\frac{1}{82}+...+\frac{1}{100}\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{61}>\frac{1}{80};\frac{1}{62}>\frac{1}{80};...;\frac{1}{80}=\frac{1}{80}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+...+\frac{1}{80}>\frac{1}{80}+\frac{1}{80}+...+\frac{1}{80}=\frac{20}{80}=\frac{1}{4}\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{1}{81}>\frac{1}{100};\frac{1}{82}>\frac{1}{100};...;\frac{1}{100}=\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{81}+\frac{1}{82}+...+\frac{1}{100}>\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(A>\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{9}{20}\)
Vậy...
HH
12 tháng 6 2018
Bài 1 :
a.Ta có 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/199 - 1/200
=(1+1/2+1/3+1/4+.....+1/199+1/200) -2(1/2+1/4+1/6+......+1/200)
=(1+1/2+1/3+1/4+.....+1/199+1/200) -(1+1/2+1/3+.....+1/100)
=1/101+1/102+....+1/199+1/200
b.Tổng quát bạn tự làm nhé
12 tháng 6 2018
Bài 1 :
Ta giải bài toán tổng quát :chứng minh rằng : với n là số tự nhiên lớn hơn 1 , ta luô có :
\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}\)\(-\frac{1}{2n}\)
\(=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\)
Thật vậy ,kí hiệu \(S2n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n}\)thì ta có :
\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{2n}=S2n-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n}\right)\)
\(=S2n-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{2n}\)
Bài toán ở câu a chỉ là trường hợp riêng của bài toán trên với \(n=100\)
Bài 2 :
Đặt \(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{15}\left(1\right)\)
\(T=1.3.5.7...15\)( Tích các số lẻ bé hơn hoặc bằng 15 )
Nhân 2 vế của ( 1 ) với 2^2 .T ta được :
\(S.2^2T=\frac{2^2T}{2}+\frac{2^2T}{3}+\frac{2^2T}{4}+...+\frac{2^2T}{15}\left(2\right)\)
Dễ thấy tất cả các số hạng ở vế phải của ( 2) ,trừ số hặng \(\frac{2^2T}{2^3}\)đều là số tự nhiên ,suy ra vế phải có tổng không phải là số tự nhiên .Do đó S không phải là số tự nhiên
Chúc bạn học tốt ( -_- )
\(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}=\frac{2.3....100+1.3.....100+1.2.4.....100+....+1.2....99}{1.2.3....100}\)
\(\text{Trên tử có số hạng:}1.2.3....98.100\text{ không chia hết cho 99 còn các số hạng khác đều chia hết cho 99}\)
\(\text{nên tử không chia hết cho 99(1) mà mẫu:}1.2.3....99.100\text{ có thừa số 99 nên chia hết cho 99(1)}\)
\(\text{Từ (1) và (2) suy ra: A}\notinℕ\)