\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=9\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\\xy+yz+zx=27\end{matrix}\right.\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
\(\frac{3x-36}{12}=\frac{5y-45}{15}=\frac{z-1}{1}=\frac{3x+5y-z-50}{26}=\frac{-48}{26}\)
\(\Rightarrow\frac{x-12}{4}=\frac{-48}{26}\Rightarrow x=...\)
Tương tự với y, z, nhưng chắc bạn nhầm đề, nếu pt bên dưới là -2 thì nó ra \(\frac{-52}{26}=-2\) kết quả đẹp hơn nhiều
b. Không rõ đề
c.
\(x+y+z=9\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=81=3.27=3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\Rightarrow\frac{3}{x}=1\Rightarrow x=y=z=3\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx-2xyz=xy\left(1-z\right)+yz\left(1-x\right)+zx\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Mặt khác do vai trò của x;y;z là hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow1=x+y+z\ge3x\Rightarrow0\le x\le\frac{1}{3}\)
\(P=x\left(y+z\right)+yz\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+yz\left(1-2x\right)\)
\(P\le x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(y+z\right)^2\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(1-x\right)^2\left(1-2x\right)\)
\(P\le\frac{-2x^3+x^2+1}{4}=\frac{-2x^3+x^2+1}{4}-\frac{7}{27}+\frac{7}{27}\)
\(P\le-\frac{\left(1-3x\right)^2\left(6x+1\right)}{108}+\frac{7}{27}\le\frac{7}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2\left(1\right)\)
Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\left(đpcm\right)\)
ĐK:: x,y,z\(\ne0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=9\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\\xy+yz+zx=27\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=9\\xy+yz+zx=xyz\\xy+xz+yz=27\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=9\\xyz=27\\xy+yz+xz=27\end{matrix}\right.\)
Coi x;y;z là ba nghiệm x1;x2;x3 của một phương trình bậc ba. Theo công thức Vi-ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3=9\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=27\\x_1x_2x_3=27\end{matrix}\right.\)
Suy ra x1;x2;x3 là ba nghiệm của phương trình
\(X^3-9X^2+27X-27=0\Leftrightarrow\left(X-3\right)^3=0\Leftrightarrow X=3\)
Vậy (x;y;z)=(3;3;3)
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (2) cộng (3) ta được
\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)
Lấy (1) - (4) ta được
\(2x\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z
1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
Đến đây thì dễ rồi nhé