K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

BĐT tương đương :

\(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\) ( đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

10 tháng 3 2017

  dùng biến đổi tương đương: 

cần chứng minh 1/(1+a²) + 1/(1+b²) ≥ 2/(1+ab) 

<=> 1/(1+a²) - 1/(1+ab) + 1/(1+b²) - 1/(1+ab) ≥ 0 

<=> (ab-a²) /(1+a²)(1+ab) + (ab-b²) /(1+b²)(1+ab) ≥ 0 

<=> [a(b-a)(1+b²) + b(a-b)(1+a²)] / (1+a²)(1+b²)(1+ab) ≥ 0 

<=> (b-a).(a+ab² - b-ba²) ≥ 0 <=> (b-a).[a-b + ab(b-a)] ≥ 0 

<=> (b-a)².(ab-1) ≥ 0 

bất đẳng thức sau cùng mà đúng mới là chuyện lạ !!! 
nếu tôi giải ko sai thì hẳn là đề đã ghi nhầm, mà thật ra thay a = 1, b = 2 vào thì đủ thấy 
tuy nhiên chỉ sai có cái dấu " ≥ " nên tôi vẫn post bài ở trên 
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Nguồn:HCT

22 tháng 3 2021

1) a2 - ab + b2 ≥ 0

<=> ( 4a2 - 4ab + b2 ) + 3b2 ≥ 0

<=> ( 2a - b )2 + 3b2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 0

2) a2 - ab + b2 ≥ 1/4( a + b )2

<=> 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2

<=> 4a2 - 4ab + 4b - a2 - 2ab - b2 ≥ 0

<=> 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 0

<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0

<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b 

12 tháng 6 2020

Vì abc = 1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)\(=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{abc}{abc^2+abc+ac}+\frac{c}{ca+c+1}\)

\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\)(*)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và áp dụng đẳng thức (*), ta được:

\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)\(=\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}\right)^2}{a}+\frac{\left(\frac{b}{bc+b+1}\right)^2}{b}+\frac{\left(\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{c}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

2 tháng 9 2016

Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{a+b}{4ab}\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)

20 tháng 6 2015

\(VT-VP=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)

Do a,b>0 nên ab(a+b)>0 và (a-b)2 >=0

=> VT-VP>=0 nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(dpcm\right)\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi VT-VP=0 tức là (a-b)2 =0 => a=b

20 tháng 6 2015

Ta có:a2+b2>2ab

=>a2+2ab+b2>4ab

=>(a+b)2>4ab

=>\(\frac{ab}{a+b}\ge\frac{4}{a+b}\)

=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra <=>a=b

8 tháng 11 2017

b/ \(a-\frac{1}{a}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}=1\)

\(\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}-2=1\)

\(\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}=3\)

\(\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{a^2}+2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{a}\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow a-\frac{1}{a}=\sqrt{5}\)

8 tháng 11 2017

a/ Ta có: \(x=\frac{1-5y}{2}\) thê vô ta được

\(x^2+y^2=y^2+\left(\frac{1-5y}{2}\right)^2=\frac{29y^2-10y+1}{4}\)

\(=\frac{1}{116}\left(29^2y^2-290y+29\right)=\frac{1}{116}\left[\left(29^2y^2-2.29y.5+25\right)+4\right]\)

\(=\frac{1}{116}\left[\left(29y-5\right)^2+4\right]\ge\frac{4}{116}=\frac{1}{29}\)

31 tháng 1 2020

Áp dụng BĐT Cô-si , ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)    và     \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(đpcm)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

31 tháng 1 2020

Dòng thứ 5 nhầm dấu ạ :D Sửa :

\(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)           

(đpcm)

30 tháng 4 2017

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)

\(\sqrt{ab}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\ge\frac{2ab}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}^2}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\le1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}-1\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}-a-b}{a+b}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{a+b}\le0\) (luôn đúng)

Vậy \(\sqrt{ab}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\) (2)

Từ (1) ; (2) \(\Rightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\) (đpcm)