Question

[trần lê hữu hoàng]

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AD, SC. CMR mp(MNP) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.

Dốt hình ko gian ạ

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Gọi O là tâm hình bình hành; MN cắt AC tại J

Kẻ PE//SO thì E là trung điểm của OC suy ra \(IO=\frac{1}{2}PE=\frac{1}{4}SO\)

Gọi thể tích khối chóp là V

Ta có : \(\frac{V_{S.B'D'P}}{V_{S.BCD}}=\frac{SB'}{SB}.\frac{SD'}{SD}.\frac{SP}{SC}=\frac{3}{4}.\frac{3}{4}.\frac{1}{2}=\frac{9}{32}\)

suy ra \(V_{S.B'D'P}=\frac{9}{32}V_{S.BCD}=\frac{9}{64}V\)

Suy ra \(V_{BDD'BPC}=\frac{1}{2}V-\frac{9}{64}V=\frac{23}{64}V\)

pcm \(V_{MNDD'B'B}=\frac{9}{64}V\)

Ta có : \(V_{MNDD'B'B}=V_{J.BB'D'D}+V_{M.BB'J}+V_{N.DD'J}=V_{J.BB'D'D}+2.V_{M.BB'J}\)

Với \(V_{J.BB'D'D}=\frac{1}{2}V_{A.BB'D'D}=\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{3}{4}\right)^2\right].V_{A.SBD}\)\(=\frac{1}{2}.\frac{7}{16}.\frac{1}{2}V=\frac{7}{64}V\)

\(V_{M.BB'J}=V_{B'.BMJ}=\frac{1}{4}V_{S.BMJ}=\frac{1}{4}.\frac{1}{8}V_{S.ABD}\)\(=\frac{1}{4}.\frac{1}{8}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{64}V\)

Vậy \(V_{MNDD'B'B}=V_{J.BB'D'D}+2.V_{M.BB'J}=\frac{7}{64}V+2\frac{1}{64}V=\frac{9}{64}V\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[Tran Le Khanh Linh]

Gọi H là khối đa diện nằm bên dưới mp(MNP)
Gọi h,S,V lần lượt là chiều cao, diện tích đáy, thể tích của khối chóp S.ABCD
Dễ thấy:

\(\hept{\begin{cases}S_{DNU}=S_{BMT}=S_{AMN}=\frac{1}{4}S_{ABD}=\frac{1}{8}S\\d\left(p;\left(ABCD\right)\right)=\frac{1}{2}h;d\left(q;\left(ABCD\right)\right)=d\left(r;\left(ABCD\right)\right)=\frac{1}{4}h\end{cases}}\)

Ta có: \(S_{CTU}=S+\frac{1}{8}S=\frac{9}{8}S\)

\(V_{P\cdot CTU}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}h\cdot\frac{9}{8}S=\frac{9}{16}V\)

\(V_{Q\cdot UDN}=V_{R\cdot BMT}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{8}S=\frac{1}{32}V\)

\(V_H=V_{P\cdot CTU}-V_{Q\cdot UDN}-V_{R\cdot BMT}=\frac{1}{2}V\)

=> đpcm
Nguồn:  Chú lùn thứ 8