Question

[Bangtan Bàngtán Bất Bìnhtĩnh]

cho hình vuông ABCD, M nằm bất kì treen BD. kẻ MH vuông góc AB, MK vuông góc AD. MK cắt BC tại Q. HQ=MB và AMHK là hc nhật

C/m CM vuông góc HK

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

Thử vẽ Sketchpad cũng đẹp ấy chứ:))

Gọi I là giao điểm của KB và HD;J là giao điểm của CK và HD;O là giao điểm của CM và KH.

Hình vuông ABCD có \(BD\) là đường chéo nên \(\widehat{KDM}=45^0\)

Xét tam giác KDM có \(\widehat{DKM}=90^0;\widehat{KDM}=45^0\Rightarrow\Delta KDM\) vuông cân tại K.Suy ra KD=KM ( 1 )

Tứ giác AHMK có \(\widehat{KAH}=\widehat{AHM}=\widehat{MKA}=90^0\) nên tứ giác AHMK là hình chữ nhật => AH=MK ( 2 )

Từ ( 1 );( 2 ) suy ra AH=DK.

Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta KDC\) có:KD=AH;DC=AD;\(\widehat{DAH}=\widehat{KDC}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta AHD=\Delta DCK\left(2cgv\right)\Rightarrow\widehat{ADH}=\widehat{DCJ}\)

Ta có:\(\widehat{ADJ}+\widehat{JDC}=90^0\Rightarrow\widehat{JDC}+\widehat{DCJ}=90^0\Rightarrow\widehat{DJC}=90^0\left(3\right)\)

Lại có:\(AD=AB\Rightarrow AK+KD=AH+HB\Rightarrow AK=HB\left(AH=KD\right)\)

Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta BCH\) có:\(AB=BC;HB=AK;\widehat{KAB}=\widehat{HBC}=90^0\Rightarrow\Delta ABK=\Delta BCH\left(2cgv\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABK}=\widehat{HCB}\)

Mà \(\widehat{ABK}+\widehat{KBC}=90^0\Rightarrow\widehat{KBC}+\widehat{HCB}=90^0\Rightarrow CH\perp BK\left(4\right)\)

Từ ( 3 );( 4 ) suy ra I là trực tâm tam giác HKC.

Ta sẽ chứng minh CM đi qua I.Thật vậy !

Xét \(\Delta AHK\) và \(\Delta CMQ\) có:\(AK=MQ;AH=CQ\left(=DK\right);\widehat{KAH}=\widehat{MQC}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta AHK=\Delta QCM\left(2cgv\right)\Rightarrow\widehat{AHK}=\widehat{QCM}\) mà \(AH\perp QC\Rightarrow KH\perp CM\)( ai đó cm cái này với !! )

=> CM đi qua I hay \(CM\perp HK\)