Tìm tất cả các số tự nhiên n để biểu thức: \(Q=\sqrt{n+2}+\sqrt{n+\sqrt{n+2}}\)là một số nguyên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 6 2017
New (cách mới) : Đặt \(x=\frac{49-\sqrt{2401-4n}}{2}\) là số chính phương.
Mà \(\frac{49-\sqrt{2401-4n}}{2}\le\frac{49}{2}\), các số chính phương nhỏ hơn 49/2 là 0; 1; 4; 9; 16
+ Nếu x= 16 -> \(49-\sqrt{2401-4n}=\)32 => \(\sqrt{2401-4n}=\)17 (loại)
+ Nếu x= 9 -> \(49-\sqrt{2401-4n}=\)18 => \(\sqrt{2401-4n}=\)31 (loại)
+ Nếu x= 4 -> \(49-\sqrt{2401-4n}=\)8 => \(\sqrt{2401-4n}=\)41 (loại)
+ Nếu x= 1 -> \(49-\sqrt{2401-4n}=\)2 => \(\sqrt{2401-4n}=\)47 (loại)
+ Nếu x= 0 -> \(49-\sqrt{2401-4n}=\)0 => \(\sqrt{2401-4n}=\)49 => 2041 - 4n = 492 = 2041
=> 4n = 0 => n =0
Thay n=0 vào biểu thức được kết quả là 7 nên n=0 để biểu thức có giá trị nguyên.
8 tháng 6 2017
\(\sqrt{\frac{49+\sqrt{2401-4n}}{2}}+\sqrt{\frac{49-\sqrt{2401-4n}}{2}}\)
ĐK: 2401 - 4n ≥ 0 => n ≤ 600
Đặt x = \(\sqrt{2401-4n}\)
Để biểu thức có giá trị nguyên thì 2401-4n là số chính phương; (49+x)/2 và (49-x)/2 là số chính phương
=>(492 - x2)/4 là số chính phương
=> (2401 - x2)/4 = (2401-2401+4n)/4 = n là số chính phương
Ta có: n=k2 (k≥0)
=> 492 - (2k)2 = (49-2k)(49+2k) là số chính phương.
Thay k từ 0 đến 24 (nếu k>24 thì 49-2k<0) chỉ có k=0 thỏa mãn để (49-2k)(49+2k) là số chính phương. => n =0
Vậy n =0 để biểu thức có giá trị nguyên (=7)
----
Tới bước cuối ko nghĩ ra đc nữa nên mò :3
LP
1
PN
17 tháng 8 2016
biểu thức đã cho là số tự nhiên khi n^2+14n-256=a^2(a là số tự nhiên)
n^2+14n+49=a^2+49+256=a^2+305
(n+7)^2= a^2+305
vì n là số tự nhiên nên n+7 là số tự nhiên nên (n+7)^2 là số chính phương có dang b^2(b là số tự nhiên)
suy ra a^2+305=b^2
b^2-a^2=305
(b-a)(b+a)=305
vì a và b là số tự nhiên nên a+b là số tự nhiên và b+a>b-a
suy ra b+a là ước tự nhiên của 305={1;5;61;305}
nếu b+a=1 thì b-a=305>b+a(loại)
nếu b+a=5 thì b-a=61>b+a(loại)
nếu b+a=61 thì b-a=5 suy ra a=28 thay vào tìm được n=26
nếu b+a=305 thì b-a=1 suy ra a=152 thay vào tìm đươc n=146
vây n=26 hoặc n=146 tmđb
NT
3
12 tháng 2 2017
Ta có: A= \(2^8+2^{11}+2^n=\)\(=2304+2^n=9.256+2^n=2^8\left(9+2^{n-8}\right)\)
Vây để biểu thức là số hữu tỷ thì A là số chính phương, vậy \(9+2^{n-8}=m^2\)
=> \(2^{n-8}=\left(m-3\right)\left(m+3\right)\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}m+3=2^k\\m-3=2^l\end{cases}}\), Nếu k\(\ge\)4, ta có:\(6=\left(m+3\right)-\left(m-3\right)=2^k-2^l\ge2^k-2^{k-1}\ge8\)(vô lý)
Vậy k=1,2,3
thay k=3 thì m=5,n=12
Vậy n=12
12 tháng 2 2017
Cách 2: Đặt \(\left(2^8+2^{11}+2^n\right)=\left(2^a+2^b\right)^2=2^{2a}+2^{a+b+1}+2^{2b}\)
Vai trò của a,b như nhâu nên
Từ đây dễ dàng chọn: 2a=8 => a=4 => b=6
KN
14 tháng 2 2020
We put \(n^2-14n+38=k^2\)
\(\Rightarrow n^2-14n+49-11=k^2\)
\(\Rightarrow\left(n-7\right)^2-11=k^2\)
\(\Rightarrow\left(n-7\right)^2-k^2=11\)
\(\Rightarrow\left(n-7-k\right)\left(n-7+k\right)=11=1.11=11.1=\left(-1\right).\left(-11\right)\)
\(=\left(-11\right).\left(-1\right)\)
Prints:
| \(n-7-k\) | \(1\) | \(11\) | \(-11\) | \(-1\) |
| \(n-7+k\) | \(11\) | \(1\) | \(-1\) | \(-11\) |
| \(n-k\) | \(8\) | \(18\) | \(-4\) | \(6\) |
| \(n+k\) | \(18\) | \(8\) | \(6\) | \(-4\) |
Case by case, we have \(n\in\left\{13;1\right\}\)
16 tháng 4 2021
Câu 2:
2) Ta có: \(M=\dfrac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9-x+9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\dfrac{-x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\dfrac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)
MN
16 tháng 4 2021
Câu 2 :
Gọi : vận tốc của người đi chậm là : x (km/h) ( x > 0 )
Vận tốc của người đi nhanh : x + 4 (km/h)
Vi : người đi chậm đến muộn hơn : 45 phút \(=\dfrac{3}{4}\left(h\right)\)
Khi đó :
\(\dfrac{36}{x}-\dfrac{36}{x+4}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left[36\cdot\left(x+4\right)-36x\right]\cdot4=3x\cdot\left(x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^2+12x-144=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=12\left(n\right)\\x=16\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
B
2
AQ
3 tháng 12 2023
Bạn đang tìm kiếm số tự nhiên n để biểu thức: sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của các số nguyên và căn bậc hai.
Đầu tiên, ta nhận thấy rằng nếu biểu thức trên có giá trị nguyên, thì cả hai căn bậc hai phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là 5 + sqrt(25 - n) và 5 - sqrt(25 - n) đều phải là bình phương của một số nguyên. Ta có thể viết lại hai biểu thức này như sau:
5 + sqrt(25 - n) = a^2 5 - sqrt(25 - n) = b^2
Trong đó a và b là các số nguyên. Từ đó, ta có:
a^2 + b^2 = 10 a^2 - b^2 = sqrt(25 - n)
Ta có thể giải hệ phương trình này để tìm a, b, và n. Đầu tiên, ta có:
(a^2 + b^2) + (a^2 - b^2) = 2a^2 = 10 + sqrt(25 - n)
Từ đó, ta suy ra:
a^2 = 5 + (1/2)sqrt(25 - n)
Tương tự, ta có:
b^2 = 5 - (1/2)sqrt(25 - n)
Do a và b là các số nguyên, ta có thể suy ra rằng sqrt(25 - n) phải là một số chẵn. Từ đó, ta có:
25 - n = 4k^2
Với k là một số nguyên. Từ đó, ta suy ra:
n = 25 - 4k^2
Vậy để biểu thức sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên, thì n phải là một số tự nhiên sao cho sqrt(25 - n) là một số chẵn. Các giá trị của n thỏa mãn điều kiện này là n = 3 và n = 7 1.
Vì vậy, để biểu thức sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên, thì n phải là một trong hai số tự nhiên 3 hoặc 7.
AQ
3 tháng 12 2023
Bạn đang tìm kiếm số tự nhiên n để biểu thức: sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của các số nguyên và căn bậc hai.
Đầu tiên, ta nhận thấy rằng nếu biểu thức trên có giá trị nguyên, thì cả hai căn bậc hai phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là 5 + sqrt(25 - n) và 5 - sqrt(25 - n) đều phải là bình phương của một số nguyên. Ta có thể viết lại hai biểu thức này như sau:
5 + sqrt(25 - n) = a^2 5 - sqrt(25 - n) = b^2
Trong đó a và b là các số nguyên. Từ đó, ta có:
a^2 + b^2 = 10 a^2 - b^2 = sqrt(25 - n)
Ta có thể giải hệ phương trình này để tìm a, b, và n. Đầu tiên, ta có:
(a^2 + b^2) + (a^2 - b^2) = 2a^2 = 10 + sqrt(25 - n)
Từ đó, ta suy ra:
a^2 = 5 + (1/2)sqrt(25 - n)
Tương tự, ta có:
b^2 = 5 - (1/2)sqrt(25 - n)
Do a và b là các số nguyên, ta có thể suy ra rằng sqrt(25 - n) phải là một số chẵn. Từ đó, ta có:
25 - n = 4k^2
Với k là một số nguyên. Từ đó, ta suy ra:
n = 25 - 4k^2
Vậy để biểu thức sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên, thì n phải là một số tự nhiên sao cho sqrt(25 - n) là một số chẵn. Các giá trị của n thỏa mãn điều kiện này là n = 3 và n = 7 1.
Vì vậy, để biểu thức sqrt(5 + sqrt(25 - n)) + sqrt(5 - sqrt(25 - n)) có giá trị nguyên, thì n phải là một trong hai số tự nhiên 3 hoặc 7.