Chứng minh bất đẳng thức
a)\(x^4-4x+5>0\)
b)\(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 3 2021
Lời giải:
$x^4-4x+5=(x^4-2x^2+1)+(2x^2-4x+2)+2$
$=(x^2-1)^2+2(x-1)^2+2\geq 2>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Ta có đpcm.
VT
17 tháng 6 2018
1/ a) \(4x^2+4x+5>0\)
<=> \(\left(4x^2+4x+1\right)+4>0\)
<=> \(\left(2x+1\right)^2+4>0\) (bất đẳng thức đúng với mọi x)
b) \(a^2+ab+b^2\)≥ 0
<=> \(2a^2+2ab+2b^2\) ≥ 0
<=> \(\left(a^2+2ab+b^2\right)+a^2+b^2\) ≥ 0
<=> \(\left(a+b\right)^2+a^2+b^{2^{ }}\) ≥ 0 (bất đẳng thức đúng với mọi a,b)
Dấu "=" xảy ra khi a + b = a = b = 0 hay a = b = 0.
2/
[Mình vẽ hình tượng trưng thôi chứ không đúng đâu nhé]
Xét tam giác ABD và tam giác ACE có
Góc A chung
AB = AC (Tam giác ABC cân tại A)
Góc ABD = góc ACE (=góc B/2 = góc C/2)
Suy ra: Tam giác ABD = tam giác ACE (g.c.g)
=> AE = AD (2 cạnh tương ứng)
=> Tam giác AED cân tại A
△ABC cân tại A
=> góc B = (180o - góc A)/2 (1)
△AED cân tại A (cmt)
=> góc AED = (180o - góc A)/2 (2)
Từ (1) và (2) => góc B = góc AED
=> ED //BC
=> Tứ giác BEDC là hình thang
mà góc B = góc C (Tam giác ABC cân tại A)
=> BEDC là hình thang cân.
3/ \(1+x+x^2+x^3=y^3\)
Ta nhận thấy: 1 + x + x2 = \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2^{ }}+\dfrac{3}{4}>0\) với mọi x
nên x3 < 1 + x + x2 + x3 hay x3 < y3 (1)
Xét hiệu (x+2)3 - y3 = (x+2)3 - (1+x+x2+x3) = 5x2 + 11x + 7
= \(5\left(x+\dfrac{11}{10}\right)^{2^{ }}+\dfrac{19}{20}>0\) nên (x+2)3 > y3 (2)
Từ (1) và (2) => x3 < y3 < (x+2)3
=> y3 = (x+1)3 (vì x,y là số nguyên)
hay 1 + x + x2 + x3 = (x+1)3
<=> x2 + x = 0 <=> x(x+1) = 0 <=> x = 0 hoặc x = -1
* Với x = -1 thì y = 1 + (-1) + (-1)2 + (-1)3 = 0
* Với x = 0 thì y = 1 + 0 + 02 + 03 = 1
Vậy Các số nguyên (x;y) cần tìm là (-1;0); (0;1).
4/ \(\left(x^2-\dfrac{25}{4}\right)^2=10x+1\)
<=> \(x^4-\dfrac{25}{2}x^2+\dfrac{625}{16}=10x+1\)
<=> \(x^4-\dfrac{25}{2}x^2-10x+\dfrac{609}{16}=0\)
<=> \(\left(x^4-\dfrac{7}{2}x^3\right)+\left(\dfrac{7}{2}x^3-\dfrac{49}{4}x^2\right)-\left(\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{7}{8}x\right)-\left(\dfrac{87}{8}x+\dfrac{609}{16}\right)=0\)
<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left(x^3+\dfrac{7}{2}x^2-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{87}{8}\right)=0\)
<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left[\left(x^3-\dfrac{3}{2}x^2\right)+\left(5x^2-\dfrac{15}{2}x\right)+\left(\dfrac{29}{4}x-\dfrac{87}{8}\right)\right]=0\)
<=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x^2+5x+\dfrac{29}{4}\right)=0\)
<=> \(x-\dfrac{7}{2}=0\) hoặc \(x-\dfrac{3}{2}=0\) (vì \(x^2+5x+\dfrac{29}{4}\)≠ 0)
<=> x = 3.5 hoặc x = 1.5.
31 tháng 8 2020
x2 - 2x + 3 = ( x2 - 2x + 1 ) + 2 = ( x - 1 )2 + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x ( đpcm )
x2 - x + 1 = ( x2 - x + 1/4 ) + 3/4 = ( x - 1/2 )2 + 3/4 ≥ 3/4 > 0 ∀ x ( đpcm )
x2 + 4x + 7 = ( x2 + 4x + 4 ) + 3 = ( x + 2 )2 + 3 ≥ 3 > 0 ∀ x ( đpcm )
-x2 + 4x - 5 = -( x2 - 4x + 4 ) - 1 = -( x - 2 )2 - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x ( đpcm )
-x2 - x - 1 = -( x2 + x + 1/4 ) - 3/4 = -( x + 1/2 )2 - 3/4 ≤ -3/4 < 0 ∀ x ( đpcm )
-4x2 - 4x - 2 = -4( x2 + x + 1/4 ) - 1 = -4( x + 1/2 )2 - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x ( đpcm )
5 tháng 8 2017
Theo AM-GM , có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Nhân vế theo vế :
\( \left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
11 tháng 12 2021
gọi bthuc trên là: A
xét hiệu A-2/3( bn tự rút gọn đưa về thành HĐT nhé tui đánh bàn phím mỏi tay lắm)
cm A-2/3>o=>A>2/3
8 tháng 10 2020
\(x^2+xy+y^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2.x.\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{4}y^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1>1\)
=>ĐPCM
\(x^4+x^2+2>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2\right)^2+2x^2.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>\frac{7}{4}\)
=>ĐPCM
\(\left(x+3\right)\left(x-11\right)+2003>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x-33+2003>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x+16+1954>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+1954>1954\)
=>ĐPCM
\(-9x^2+12x-15< 0\)
\(\Leftrightarrow-\left(3x^2+2.3.2x+4+11\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-\left[\left(3x+2\right)^2+11\right]< 11\)
=>ĐPCM
\(-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-5-\left(x^2-x-2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-5-\left(x^2-2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-5-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]< \frac{-11}{4}\)
=>ĐPCM
Một cửa hàng ngày đầu bán được 3 tạ 16 kg gạo, ngày sau bán được hơn ngày đầu 3,5 yến. Hỏi cả hai ngày bán đươc bao nhiêu tạ gạo ?
các bạn giải giúp mình với trong vòng từ 5h đến 6h nhé