K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 10 2019

Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+a+b+c=2+2018\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+ab+bc}{b+c}+\frac{b+bc+ab}{c+a}+\frac{c+ac+bc}{a+b}=2020\)

\(\Leftrightarrow a\left(\frac{1+b+c}{b+c}\right)+b\left(\frac{1+a+c}{a+c}\right)+c\left(\frac{1+a+b}{a+b}\right)=2020\left(1\right)\)

Vì \(a+b+c=2018\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2018-c\\b+c=2018-a\\c+a=2018-b\end{cases}\left(2\right)}\)

Thay (2) vào (1) ta được: 

\(a\left(\frac{2019-a}{b+c}\right)+b\left(\frac{2019-b}{a+c}\right)+c\left(\frac{2019-c}{a+b}\right)=2020\)

\(\Leftrightarrow\frac{2019a-a^2}{b+c}+\frac{2019b-b^2}{a+c}+\frac{2019c-c^2}{a+b}=2020\)

\(\Leftrightarrow\frac{2019a}{b+c}-\frac{a^2}{b+c}+\frac{2019b}{a+c}-\frac{b^2}{a+c}+\frac{2019c}{a+b}-\frac{c^2}{a+b}=2020\)

\(\Leftrightarrow2019\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-\left(\frac{a^2}{c+b}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)=2020\)

\(\Leftrightarrow4038-\left(\frac{a^2}{c+b}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)=2020\)( vì \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=2\))

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{c+b}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=2018\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{c+b}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+1=2019\)

Bài 1 : Cho hai số x,y thỏa mãn đẳng thức :\(\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)\times\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)=2011\)TÌm x+y .Bài 2 : Cho x>0,y>0 và \(x+y\ge6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)Bài 3 : Cho các số thực x,a,b,c thay đổi , thỏa mạn hệ :\(\hept{\begin{cases}x+a++b+c=7\\x^2+a^2+b^2+c^2=13\end{cases}}\)TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x .Bài 4 : Cho các...
Đọc tiếp

Bài 1 : Cho hai số x,y thỏa mãn đẳng thức :

\(\left(x+\sqrt{x^2+2011}\right)\times\left(y+\sqrt{y^2+2011}\right)=2011\)TÌm x+y .

Bài 2 : Cho x>0,y>0 và \(x+y\ge6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

Bài 3 : Cho các số thực x,a,b,c thay đổi , thỏa mạn hệ :

\(\hept{\begin{cases}x+a++b+c=7\\x^2+a^2+b^2+c^2=13\end{cases}}\)TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x .

Bài 4 : Cho các số dương a,b,c . Chứng minh :

\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Bài 5: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :(x+y)2+7.(x+y)+y2+10=0 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+1

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức : \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)

Bài 7 : CHo các số dương a,b,c . Chứng minh bất đẳng thức :

\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge4\times\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)

 

6
3 tháng 11 2019

neu de bai bai 1 la tinh x+y thi mik lam cho

4 tháng 11 2019

đăng từng này thì ai làm cho 

30 tháng 7 2019

Nhân 2 vế của 2 ĐT đề bài ta có

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)=\frac{47}{10}\)

<=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\left(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{47}{10}\)

=>\(P=\frac{17}{10}\)

Vậy \(P=\frac{17}{10}\)

Đặt \(A=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\ge d\)=>\(a^2\ge b^2\ge c^2\ge d^2\)

=>\(\frac{1}{a^2}\le\frac{1}{b^2}\le\frac{1}{c^2}\le\frac{1}{d^2}\)

=>\(A\le\frac{4}{d^2}\)=>\(d^2\le4\)=>\(d\in\text{ }\text{{}\pm1,\pm2\text{ }\)

Xét \(d=\pm1\)=> vô lí

Xét d=\(\pm\)2=> a=b=c=d=\(\pm\)2

=> M=ab+cd=4+4=8

6 tháng 1 2019

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}\\\frac{b}{a+c}=\frac{1}{2}\\\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\a+c=2b\\a+b=2c\end{cases}}}\)

Thay vào biểu thức A ta có :

\(A=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=2+2+2=6\)

Vậy..........

16 tháng 4 2021

\(K=\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\left(a,b,c>0\right)\).

Ta có:

\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{\left(a^2+c^2\right)-c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}=\frac{a^2+c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\)\(=\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\).

Vì \(a,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(a^2+c^2\ge2ac\).

\(\Leftrightarrow c\left(a^2+c^2\right)\ge2ac^2\).

\(\Rightarrow\frac{1}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{1}{2ac^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{c^2}{2ac^2}=\frac{1}{2a}\).

\(\Leftrightarrow-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge-\frac{1}{2a}\).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}-\frac{c^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}\left(1\right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\) .

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}\left(a,b>0\right)\left(2\right)\) 

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\)

Chứng minh tương tự, ta dược:

\(\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\left(b,c>0\right)\left(3\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{a^2}{c\left(a^2+c^2\right)}+\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}\ge\)\(\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}+\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\).

Mà \(ab+bc+ca=3abc\)(theo đề bài).

Do đó \(K\ge\frac{1}{2}.\frac{3abc}{abc}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3abc}{2abc}\).

\(\Leftrightarrow K\ge\frac{3}{2}\).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\ab+bc+ca=3abc\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=1\).

Vậy \(minK=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\).

27 tháng 8 2019

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=2\)

\(\Rightarrow P=2.2.2=8\)

27 tháng 8 2019

Xét \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow P=\frac{a+b}{c}.\frac{b+c}{a}.\frac{c+a}{b}=\frac{\left(-a\right)\left(-b\right)\left(-c\right)}{abc}=-1\)

Xét \(a+b+c\ne0\)thì ta có:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow a+b=2c;b+c=2a;c+a=2b\)

\(\Rightarrow P=\frac{a+b}{c}.\frac{b+c}{a}.\frac{c+a}{b}=\frac{\left(2a\right)\left(2b\right)\left(2c\right)}{abc}=8\)