1) Cho P=\(\frac{a+1}{a-1}\) . CMR: Nếu P là số nguyên tố và a là số nguyên thì a cũng là số nguyên tố
2) Giải phương trình : \(x^6\sqrt{x+8}=3x^6-2019x+2019\)
3) Tìm x,y nguyên thỏa mãn : \(x^2+y^2-3x-3y+xy+3=0\)
Help me!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2022
1.
\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)
\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)
Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:
\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)
\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn
2. \(N=n^4+4^n\)
- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số
- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)
\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)
Mặt khác:
\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)
\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)
\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1
\(\Rightarrow\) N là hợp số
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2022
Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).
Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9
Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số 3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)
Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)
7 tháng 1 2018
2)
Tổng của 2 số là 2009
=> Trong 2 số phải có 1 số chẵn và 1 số lẻ
Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2
=> 1 số là 2. Số còn lại là:
2009 - 2 = 2007 không là số nguyên tố
=> Tổng của 2 số nguyên tố không thể bằng 2009.
7 tháng 1 2018
1)
Với p = 2 => p + 2 = 2 + 2 = 4 là hợp số (loại)
Với p = 3 => p + 2 = 3 + 2 = 5 là SNT
=> p + 4 = 3 + 4 = 7 là SNT (thỏa mãn)
Với p > 3 => p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k ∈ N*)
Nếu p = 3k + 1 => p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3
=> p + 2 là hợp số (loại)
Nếu p = 3k + 2 => p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3
=> p + 4 là hợp số (loại)
Vậy p = 3
\(p=\frac{a-1+2}{a-1}=1+\frac{2}{a-1}\)
Để p là SNT thì trước hết p là số tự nhiên \(\Rightarrow\frac{2}{a-1}\in N\Rightarrow a-1=Ư\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)
\(\Rightarrow a=\left\{-1;0;2;3\right\}\)
Thay a vào biểu thức ban đầu thì chỉ \(a=\left\{2;3\right\}\) thỏa mãn, mà \(\left\{2;3\right\}\) đều là số nguyên tố nên a là SNT
2/ ĐKXĐ:...
\(\Leftrightarrow x^6\left(\sqrt{x+8}-3\right)+2019\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^6\left(x-1\right)}{\sqrt{x+8}+3}+2019\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{x^6}{\sqrt{x+8}+3}+2019\right)=0\)
\(\Rightarrow x=1\) (ngoạc phía sau luôn dương)
3/
\(x^2+\left(y-3\right)x+y^2-3y+3=0\)
Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x, tham số y, để pt có nghiệm x nguyên thì \(\Delta\) không âm và là số chính phương
\(\Delta=\left(y-3\right)^2-4\left(y^2-3y+3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3y^2+6y-3\ge0\Leftrightarrow-3\left(y-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow y=1\Rightarrow x^2-2x+1=0\Rightarrow x=1\)
Vậy pt có cặp nghiệm nguyên duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)