Question

[nguyễn hoàng anh]

giải hệ phương trình

x+y+z=1

x²+y²+z²

^{\(x^3+y^3+z^3=1\)}

Answer 1

[@Nk>↑@]

TH y=0 \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=0\\x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\z=1\end{matrix}\right.\) nhanguyễn hoàng anh ghi nhầm y=1 rồi

Answer 2

[@Nk>↑@]

Đề:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\). Đề nhớ ghi đủ nha

Áp dụng hằng đẳng thức:

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

\(\Leftrightarrow1-3xyz=1-xy-yz-zx\)

\(\Leftrightarrow3xyz=xy+yz+zx\)(1)

Lại có: \(1=x+y+z\)

\(\Rightarrow1=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=1+2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=0\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow xyz=0\)

\(\Rightarrow\) x=0 hoặc y=0 hoặc z=0

*Xét x=0, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}y+z=1\left(3\right)\\y^2+z^2=1\\y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(3\right)\Leftrightarrow y^2+z^2+2yz=1\)

\(\Leftrightarrow1+2xy=1\)

\(\Leftrightarrow2xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\z=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

Tương tự, ta giải các TH kia cũng vậy:

\(y=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=0\\x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(z=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình trên là:

\(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;0;0\right);\left(0;1;0\right);\left(0;0;1\right)\right\}\)