TN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TD
0
NV
2
ML
29 tháng 3 2016
\(\frac{x^3}{y}+xy\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y}.xy}=2x^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)-xy-yz-zx\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)=1\)
29 tháng 9 2020
Cộng vế theo vế
=> \(x^2+x+y^2+y+z^2+z=x^2+y^2+z^2\)
=> \(x+y+z=0\)=> A = 0
\(x=\left(y^2-x^2\right)=\left(y-x\right)\left(y+x\right)=\left(y-x\right).\left(-z\right)=\left(x-y\right).z\)
\(y=\left(z-y\right)\left(z+y\right)=\left(z-y\right).-x=x\left(y-z\right)\)
\(z=y\left(z-x\right)\)
=> \(xyz=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right).xyz\)
=> B = 1
HL
0
KY
16 tháng 9 2019
Ta có: \(1+x^2=xy+yz+xz+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(1+y^2=xy+yz+xz+y^2=\left(z+y\right)\left(x+y\right)\)
\(1+z^2=xy+yz+xz+z^2=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)
Thay vào biểu thức A, ta có bt sau:
\(A=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(+y\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\)
\(+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}}\)
\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
\(=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)(x,y,z dương)
\(=2\left(xy+xz+yz\right)=2.1=2\)
25 tháng 2 2018
voi x,y,z>0 ta co
ap dung bdt co si ta co
\(T>=3\sqrt[3]{\sqrt{\left(\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\left(\frac{y^2+1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\left(\frac{z^2+1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)}}\)
=\(3\sqrt[3]{\sqrt{\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\left(1+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\left(1+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)}}\)
>=\(3\sqrt[3]{\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2y^2}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{y^2z^2}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2z^2}}}}=3\sqrt[3]{\sqrt{27\sqrt[3]{\frac{1}{\left(xyz\right)^4}}}}\)
=\(3\sqrt[3]{\sqrt{27.\frac{1}{xyz}.\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}}}=3\sqrt{3}.\sqrt[9]{\frac{1}{\left(xyz\right)^2}}\)
ap dung bdt co si ta co
\(x+y+z>=3\sqrt[3]{xyz}\)
<=>3>=\(3\sqrt[3]{xyz}\left(dox+y+z=3\right)\)
<=>xyz<=1
<=>1/xyz>=1
<=>\(\sqrt[9]{\frac{1}{\left(xyz\right)^2}}>=1\)
do do T>=\(3\sqrt{3}\)
dau = xay ra <=>x=y=z=1
HL
2
23 tháng 10 2017
Có : \(x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)=-z\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=\left(-z\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2=z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=-2xy\)
Tương tự : \(y^2+z^2-x^2=-2yz\)
\(z^2+x^2-y^2=-2xz\)
Suy ra :
\(P=\frac{1}{-2xy}+\frac{1}{-2yz}+\frac{1}{-2zx}=\frac{-1}{xyz}\left(x+y+z\right)=\frac{-1}{xyz}.0=0\)
2 tháng 12 2018
Câu hỏi của Hoàng Liên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Lời giải:
Vì $0\leq x,y,z\leq 1$ nên:
$x(x-1)(y-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow x^2y\geq x^2+xy-x$
Tương tự và cộng theo vế:
$x^2y+y^2z^2+z^2x+1\geq x^2+y^2+z^2+(xy+yz+xz)-(x+y+z)+1(*)$
Lại có:
$(x-1)(y-1)(z-1)\leq 0$
$\Leftrightarrow xyz-(xy+yz+xz)+(x+y+z)-1\leq 0$
$\Leftrightarrow xy+yz+xz-(x+y+z)\geq xyz-1\geq -1$ do $xyz\geq 0(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x+1\geq x^2+y^2+z^2$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(0,1,1); (0,0,1)$ và hoán vị.