Cho tam giác ABC nhọn , các đường cao AD , BE , CF . Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu cảu A trên DE và DF . Chứng minh rằng : Tam giác APQ là tam giác cân và PQ song song BC .
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 7 2023
b: góc HID+góc HKD=180 độ
=>HIDK nội tiếp
=>góc HIK=góc HDK
=>góc HIK=góc HCB
=>góc HIK=góc HEF
=>EF//IK
TQ
13 tháng 6 2021
Xét tứ giác \(HECD\) có :
∠\(HEC=90^0\) ( Vì \(BE\)⊥\(AC\) )
∠\(HDC=90^0\) ( Vì \(AD\)⊥\(BC\) )
Mà 2 góc này đối nhau do đó :
Tứ giác \(HECD\) nội tiếp đường tròn => ∠\(HDE\)\(=\)∠\(HCE\) ( Cùng chắn cung \(HE\) )\(\left(1\right)\)
Tương tự :
Tứ giác \(HFBD\) cũng nội tiếp đường tròn ( Vì ∠\(HBF\)\(=90^0\) và ∠\(HDB=90^0\))
=> ∠\(HDF=\) ∠\(FBH\) ( Cùng chắn cung \(HF\) )\(\left(2\right)\)
Ta lại có :
∠\(CFB=\) ∠\(BEC\) \(=90^0\)
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh \(BC\) do đó :
Tứ giác \(EFBC\:\) nội tiếp đường tròn => ∠\(EBF\)\(=\) ∠\(ECF\) ( Cùng chắn cung \(EF\) )\(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\) suy ra ∠\(IDH=\) ∠\(KDH\) hay \(DH\) là tia phân giác của △\(DIK\)\(\left(4\right)\)
Mặc khác : Đường thẳng qua \(H\)//BC => Đường thẳng đó ⊥ \(AD\) tại \(H\) hay \(DH\) là đường cao của △\(DIK\)\(\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right)\) và \(\left(5\right)\) suy ra △\(DIK\) cân =>\(đpcm\)
18 tháng 8 2017
Gọi K là giao điểm của 3 đg pg trong tg ABC
Do AD ,BE ,CF lần lượt là các đg pg của tg ABC nên ta có:
\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\) => AB.DC=AC.BD ; (*)
\(\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{AC}\) ; (1)
\(\frac{AF}{BF}=\frac{AC}{BC}\) ;(2)
Mặt khá: MN//BC (gt) => tg ANE\(\infty\)tg CDE (Ta-lét) =>\(\frac{AN}{DC}=\frac{AE}{EC}\) (3)
và tg AMF \(\infty\)tg BDF (Ta-lét) => \(\frac{AM}{BD}=\frac{AF}{BF}\) (4)
Từ (1),(3)=>\(\frac{AN}{DC}=\frac{AB}{BC}=>AN.BC=AB.DC\) (**)
Từ (2),(4)=> \(\frac{AM}{BD}=\frac{AC}{BC}=>AM.BC=AC.DB\) (***)
Từ (*),(**),(***)=> AN.BC=AM.BC=> AM=AN . Mà M,A,N thẳng hàng nên A là t/đ của MN (đpcm)