CMR cos15 độ:\(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 8 2020
a) Đầu tiên bạn tự đi chứng minh hai công thức sau, do quá dài nên bạn có thể lên mạng tham khảo cách chứng minh:
\(\sin2a=2\sin a.\cos a\)
\(cos2a=cos^2a-sin^2a\)
Áp dụng hai công thức trên ta có:
\(sin30^o=2sin15^ocos15^o\Leftrightarrow sin15^ocos15^o=\frac{1}{4}\Leftrightarrow cos15^o=\frac{1}{4sin15^o}\)
\(cos30^o=cos^215^o-sin^215^o\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}=cos^215^o-sin^215^o\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{4sin^215^o}\right)^2-sin^215^o=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{16sin^415^o}-sin^215^o=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow-32sin^415^o-16sin^215^o\sqrt{3}+2=0\)
\(\Leftrightarrow sin^215^o=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\left(sin^215^o\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow sin15^o=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{4\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\left(đpcm\right)\)
PA
16 tháng 7 2017
Vẽ \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat{C}=30^0\), đường phân giác CD.
CD là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BCD}=\dfrac{\widehat{ACD}}{2}=15^0\)
\(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat{C}=30^0\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) là nửa tam giác đều
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\dfrac{1}{2}BC\\AC=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BC\end{matrix}\right.\)
\(\Delta ABC\) có CD là đường phân giác
\(\Rightarrow\tan15^0=\tan\widehat{ACD}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AD+BD}{AC+BC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BC}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}BC+BC}=2-\sqrt{3}\) (áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau_
\(1+\tan^215^0=\dfrac{1}{\cos^215^0}\)
\(\Rightarrow\cos15^0=\sqrt{\dfrac{1}{1+\tan^215^0}}=\sqrt{\dfrac{1}{1+\left(2-\sqrt{3}\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{8-4\sqrt{3}}}=\sqrt{\dfrac{\left(8+4\sqrt{3}\right)}{64-48}}=\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{4^2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\left(\text{đ}pcm\right)\)
N
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 2 2020
\(0< 15^0< 90^0\Rightarrow sin,cos,tan\) đều dương
\(cos15=\sqrt{1-sin^215}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
\(tan15=\frac{sin15}{cos15}=2+\sqrt{3}\)
\(cot15=\frac{1}{tan15}=2-\sqrt{3}\)
VT
16 tháng 8 2017
a) AM ứng với cạnh huyền BC nên AM = \(\frac{1}{2}\) x BC = \(\frac{4}{2}\) = 2 cm
AH = tan\(\widehat{ACH}\)x HM = tan 150 x 2 = \(4-2\sqrt{3}\)cm
Sin \(\widehat{AMH}\)= \(\frac{AH}{AM}\)= \(\frac{4-2\sqrt{3}}{2}\) = \(2-\sqrt{3}\) cm
Định lí Pitago : AM2 = AH2 + HM2
HC = tan \(\widehat{ACH}\)x AH
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
12 tháng 8 2023
Bài 1 :
a) \(Cos30^o=Cos\left(2.15^o\right)=2cos^215^o-1\)
\(\Rightarrow cos^215^o=\dfrac{cos30^o+1}{2}\)
\(\Rightarrow cos^215^o=\dfrac{\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}+1}{2}\)
\(\Rightarrow cos^215^o=\dfrac{\sqrt[]{3}+2}{4}\)
\(\Rightarrow cos15^o=\dfrac{\sqrt[]{\sqrt[]{3}+2}}{2}\)
\(\Rightarrow cos15^o=\dfrac{2\sqrt[]{\sqrt[]{3}+2}}{4}\)
\(\Rightarrow cos15^o=\dfrac{\sqrt[]{4\sqrt[]{3}+8}}{4}\)
\(\Rightarrow cos15^o=\dfrac{\sqrt[]{6+2.2\sqrt[]{2}\sqrt[]{6}+2}}{4}\)
\(\Rightarrow cos15^o=\dfrac{\sqrt[]{\left(\sqrt[]{6}+\sqrt[]{2}\right)^2}}{4}\)
\(\Rightarrow cos15^o=\dfrac{\sqrt[]{6}+\sqrt[]{2}^{ }}{4}\left(dpcm\right)\)
12 tháng 8 2023
a)
Dựng tam giác ABC vuông tại A với \(\widehat{C}=15^o\). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho \(\widehat{CBD}=15^o\). Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa \(AB=1\). \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{AB}{cos60^o}=2\\AD=AB.tan60^o=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Dễ thấy tam giác DBC cân tại D \(\Rightarrow BD=CD=2\) \(\Rightarrow AC=AD+DC=2+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow tanC=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{sinC}{cosC}=2-\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow sinC=\left(2-\sqrt{3}\right)cosC\)
Mà \(sin^2C+cos^2C=1\)
\(\Rightarrow\left(7-4\sqrt{3}\right)cos^2C+cos^2C=1\)
\(\Leftrightarrow\left(8-4\sqrt{3}\right)cos^2C=1\)
\(\Leftrightarrow cos^2C=\dfrac{1}{8-4\sqrt{3}}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\)
\(\Leftrightarrow cosC=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}\) \(=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\dfrac{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}{4}\) \(=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
\(\Rightarrow cos15^o=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
24 tháng 7 2016
Trước hết , ta cần chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)(*) (Bạn tự chứng minh)
Đặt \(A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)
\(\Rightarrow2A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)
\(>\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\)
Áp dụng (*) :\(\Rightarrow2A>\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{5}-\sqrt{4}\right)+...+\left(\sqrt{80}-\sqrt{79}\right)+\left(\sqrt{81}-\sqrt{80}\right)\)
\(\Rightarrow2A>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\)(đpcm)