Giải phương trình nghiệm nguyên: \(x+y+xy=x^2+y^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
1
18 tháng 8 2023
\(x^2+y^2=3-xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+2xy=3-xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=3-3xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=3\left(1-xy\right)\)
mà \(\left(x-y\right)^2\ge0,\forall x;y\inℤ\)
PT\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=3\\1-xy=3\end{matrix}\right.\) hay \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\1-xy=0\end{matrix}\right.\)
\(TH1:\left\{{}\begin{matrix}x-y=3\\1-xy=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+3\\xy=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(1;-2\right);\left(2;-1\right);\left(-1;2\right);\left(-2;1\right)\right\}\)
\(TH2:\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\1-xy=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\xy=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(1;1\right);\left(-1;-1\right)\right\}\)
Vậy \(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(1;-2\right);\left(2;-1\right);\left(-1;2\right);\left(-2;1\right);\left(1;1\right);\left(-1;-1\right)\right\}\)
KN
2
29 tháng 8 2023
\(x^2+y^2=3-xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=3.\left(1-xy\right)\)
\(\Leftrightarrow x-y=3\) và \(1-xy=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;-2\right),\left(2;-1\right),\left(-1;2\right),\left(-2;1\right)\)
hoặc \(x-y=0\) và \(1-xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(1;1\right),\left(-1;-1\right)\)
NT
0
27 tháng 10 2019
Với x, y, z nguyê:
Có: \(x^2+y^2-xy=x+y+2\)
=> \(2x^2+2y^2-2xy-2x-2y=4\)
=> \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x-y\right)^2=6=1^2+1^2+2^2\)
=> x khác y
G/s : x >y
=> x -1 > y - 1
Có các TH saU;
\(\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-1=-1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}}\Rightarrow\left(x-y\right)^2=4\)( thỏa mãn )
\(\hept{\begin{cases}x-1=-1\\y-1=-2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}}\Rightarrow\left(x-y\right)^2=1\)( thỏa mãn)
\(\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-1=-2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}}\Rightarrow\left(x-y\right)^2=9\)( loại )
\(\hept{\begin{cases}x-1=2\\y-1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}}\Rightarrow\left(x-y\right)^2=1\)(thỏa mãn)
\(\hept{\begin{cases}x-1=2\\y-1=-1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}}\Rightarrow\left(x-y\right)^2=9\)( loại )
\(\hept{\begin{cases}x-1=2\\y-1=-2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=-1\end{cases}}\Rightarrow\left(x-y\right)^2=16\)( loại )
Vậy nghiệm ( x; y) là ( 2;0), (0; -1) , (3; 2 ), và các hoán vị.
PT
1
IA
27 tháng 2 2021
2(x+y)+16-xy=0
<=> 2x+2y+16-xy=0
<=> y(2-x)-2(2-x)+20=0
<=> (2-x)(y-2)=-20
Vì x,y thuộc Z
=> 2-x;y-2 thuộc Z
=> 2-x;y-2 \(\inƯ\left(-20\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm5;\pm10;\pm20\right\}\)
Xét bảng
| 2-x | 1 | -1 | 2 | -2 | 4 | -4 | 5 | -5 | 10 | -10 | 20 | -20 |
| y-2 | -20 | 20 | -10 | 10 | -5 | 5 | -4 | 4 | -2 | 2 | -1 | 1 |
| x | 1 | 3 | 0 | 4 | -2 | 6 | -3 | 7 | -8 | 12 | -18 | 22 |
| y | -18 | 22 | -8 | 12 | -3 | 7 | -2 | 6 | 0 | 4 | 1 | 3 |
Vậy.........
DL
0
TT
0
\(x+y+xy=x^2+y^2\Leftrightarrow2x^2+2y^2=2x+2y+2xy\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2\)
tới đây x;y nguyên nên dễ rồi
Áp dụng bất đẳng thức x2+y2≥2xyx2+y2≥2xy nên ta có x2+y2+xy≥3xyx2+y2+xy≥3xy
Mà x2+y2+xy=x2y2≥0x2+y2+xy=x2y2≥0 nên suy ra x2y2+3xy≤0⟺−3≤xy≤0x2y2+3xy≤0⟺−3≤xy≤0
Vì x,yx,y nguyên nên xyxy nguyên, vậy nên xy∈{−3,−2,−1,0}xy∈{−3,−2,−1,0}
Trường hợp xy=−3xy=−3 ta tìm được các nghiệm (−1,3),(3,−1),(−3,1),(1,−3)(−1,3),(3,−1),(−3,1),(1,−3)
Trường hợp xy=−2xy=−2 ta tìm được các nghiệm (−1,2),(2,−1),(1,−2),(−2,1)(−1,2),(2,−1),(1,−2),(−2,1)
Trường hợp xy=−1xy=−1 ta tìm được các nghiệm (−1,1),(1,−1)(−1,1),(1,−1)
Trường hợp xy=0xy=0 ta tìm được nghiệm (0,0)(0,0)
Thử lại thì thấy chỉ có các nghiệm (0,0),(1,−1),(−1,1)(0,0),(1,−1),(−1,1) thỏa mãn và đó là các nghiệm nguyên cần tìm