Question

[Vãi Linh Hồn]

Tìm giá trị lớn nhất của :

a) A = \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\) với a,b > 0 và a + b \(\le\)1

b) B = \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)^4\)

với a,b,c,d > 0 và a + b + c + d \(\le\)1

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

a) \(A=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=2a+2b\le2\)

Vậy GTLN của A là 2 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{a}=\sqrt{b}\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}}\)

b) Ta có : \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^4=2\left(a^2+b^2+6ab\right)\)

Tương tự : \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^4\le2\left(a^2+c^2+6ac\right)\)

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(a^2+d^2+6ad\right)\)

\(\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^4\le2\left(b^2+c^2+6bc\right)\)

\(\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(b^2+d^2+6bd\right)\)

\(\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(c^2+d^2+6cd\right)\)

Cộng các vế lại, ta được :

\(B\le6\left(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bd+2cd+2bc\right)=6\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Rightarrow B\le6\)

Vậy GTLN của B là 6 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}=\sqrt{d}\\a+b+c+d=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)