Cho xyz=1 x+y+z=3 tìm GTNN \(P=x^{16}+y^{16}+z^{16}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
QH
0
NN
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2020
\(P=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{y^3+16}\right)=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{y^3+8+8}\right)\ge\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{12y}\right)=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^2}{12}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{16}\left(3-\frac{xy^2+yz^2+zx^2}{12}\right)\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\Leftrightarrow x^2+yz\le xy+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2z+yz^2\le xyz+xz^2\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le xy^2+xz^2+xyz\le xy^2+xz^2+2xyz\)
\(\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le x\left(y+z\right)^2=\frac{1}{2}.2x\left(y+z\right)\left(y+z\right)\le\frac{1}{54}\left(2x+2y+2z\right)^3\)
\(\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le4\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{16}\left(3-\frac{4}{12}\right)=\frac{1}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;0\right)\) và hoán vị
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
Cách chứng minh này ko hoàn toàn chặt chẽ đâu :D
Nó có nhiều chỗ rất lỏng đấy
NV
0
LH
0
NT
1
HT
0
\(P=\frac{x^{16}}{1}+\frac{y^{16}}{1}+\frac{z^{16}}{1}\ge\frac{\left(x^8+y^8+z^8\right)^2}{1+1+1}\ge\frac{\frac{\left(x^4+y^4+z^4\right)^2}{3}}{3}\ge\frac{\frac{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}}{3}}{3}\ge\frac{\frac{\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{3}}{3}}{3}=3\)
Min P = 3 khi x =y =z =1
vì xyz=1 và x+y+z = 3
suy ra GTNN của xyz
x=y=z=1
suy ra GTNN của P=3