Cho a+b+c =1 TÌm GTNN M= \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do a,b,c có vai trò hoán vị vòng quang.Ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có: \(A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{9abc}\right)+\frac{8}{9abc}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{8}{9abc}=\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{4}{9abc}+\frac{4}{9abc}\)
\(\ge\frac{\left(2+2+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+27abc}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+27abc}\) (Cauchy-Schwarz dạng Engel)
\(\ge\frac{36}{a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^3}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)(Cô si kết hợp giả thiết a + b + c = 1)
\(\ge2-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)
Tới đây bí:v
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
\(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
\(P\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{30}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)
\(P_{min}=30\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(M=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\)
\(M\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+ac+bc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
\(M\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{21}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)
\(\Rightarrow M_{min}=30\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)