Cho a+b+c =1 TÌm GTNN M= \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
2
KT
0
TN
1
T
27 tháng 1 2019
Do a,b,c có vai trò hoán vị vòng quang.Ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có: \(A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{9abc}\right)+\frac{8}{9abc}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{8}{9abc}=\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{4}{9abc}+\frac{4}{9abc}\)
\(\ge\frac{\left(2+2+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+27abc}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+27abc}\) (Cauchy-Schwarz dạng Engel)
\(\ge\frac{36}{a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^3}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)(Cô si kết hợp giả thiết a + b + c = 1)
\(\ge2-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)
Tới đây bí:v
PN
8 tháng 8 2020
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
8 tháng 8 2020
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 8 2020
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
\(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
\(P\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{30}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)
\(P_{min}=30\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(M=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\)
\(M\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+ac+bc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
\(M\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{21}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)
\(\Rightarrow M_{min}=30\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)