CM
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DH
21 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c+bc}{2}\left(2\right)\)
\(\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{a+ca}{2}\left(3\right)\)
Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Lại có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Hay: \(3\left(ab+bc+ac\right)\le\left(a+b+c\right)^2=3^2=9\)
Vì vậy: \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}=\frac{3}{2}+3-\frac{9}{6}=3\)
\(\Rightarrow\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\)
\(\Rightarrow Min_P=3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
NH
21 tháng 2 2020
* Dũng kỹ thuật Cô-si ngược dấu
\(P=\left(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\right)+\left(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\right)\)
+ \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}+b-\frac{bc^2}{c^2+1}+c-\frac{ca^2}{a^2+1}\)
\(\ge3-\left(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}\right)=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
+ \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}+1-\frac{b^2}{b^2+1}+1-\frac{c^2}{c^2+1}\ge3-\left(\frac{a^2}{2a}+\frac{b^2}{2b}+\frac{c^2}{2c}\right)=3-\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Do đó: \(P\ge3\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
11 tháng 5 2019
Câu a : Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\\\frac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\\\frac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế của BĐT ta thu được :
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\) ( đpcm )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
KB
14 tháng 5 2019
Đề phải là : \(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\left(x;y;z>0\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^2}=\frac{y^2}{x};\frac{b}{c^2}=\frac{z^2}{y};\frac{c}{a^2}=\frac{x^2}{z};xyz=1\)
\(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{\frac{2\left(a+b+c\right)}{abc}}\left(abc=1\right)=\frac{9}{2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)}=\frac{9}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)
Khi đó , ta có : \(P=\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{9}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)
\(=\frac{x^2}{z}+z+\frac{y^2}{x}+x+\frac{z^2}{y}+y+\frac{9}{2\left(xy+yz+xz\right)}-x-y-z\)
AD BĐT Cauchy , ta có :
\(P\ge2x+2y+2z+\frac{9}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}-\left(x+y+z\right)=x+y+z+\frac{27}{2\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{27}{2\left(x+y+z\right)^2}\ge3.\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{9}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
PD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2019
\(M=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\)
\(M\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+ac+bc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
\(M\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{21}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)
\(\Rightarrow M_{min}=30\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 5 2019
\(T=\sum\frac{a}{1+9b^2}=\sum\frac{a\left(1+9b^2\right)-9ab^2}{1+9b^2}=\sum\left(a-\frac{9ab^2}{1+9b^2}\right)\ge\sum\left(a-\frac{9ab^2}{6b}\right)=\sum\left(a-\frac{3}{2}ab\right)\)
\(T\ge a+b+c-\frac{3}{2}\left(ab+ac+bc\right)\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow T_{min}=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TN
1
T
27 tháng 1 2019
Do a,b,c có vai trò hoán vị vòng quang.Ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có: \(A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{9abc}\right)+\frac{8}{9abc}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{8}{9abc}=\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{4}{9abc}+\frac{4}{9abc}\)
\(\ge\frac{\left(2+2+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+27abc}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+27abc}\) (Cauchy-Schwarz dạng Engel)
\(\ge\frac{36}{a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^3}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)(Cô si kết hợp giả thiết a + b + c = 1)
\(\ge2-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)
Tới đây bí:v
câu hỏi lớp mấy đây bạn
con ben tren ngu day
là lớp 9