K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

19 tháng 12 2017

câu hỏi lớp mấy đây bạn

19 tháng 12 2017

con ben tren ngu day 

là lớp 9

21 tháng 2 2020

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c+bc}{2}\left(2\right)\)

\(\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{a+ca}{2}\left(3\right)\)

Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Lại có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Hay: \(3\left(ab+bc+ac\right)\le\left(a+b+c\right)^2=3^2=9\)

Vì vậy: \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}=\frac{3}{2}+3-\frac{9}{6}=3\)

\(\Rightarrow\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\)

\(\Rightarrow Min_P=3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

21 tháng 2 2020

* Dũng kỹ thuật Cô-si ngược dấu

\(P=\left(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\right)+\left(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\right)\)

+ \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}+b-\frac{bc^2}{c^2+1}+c-\frac{ca^2}{a^2+1}\)

\(\ge3-\left(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}\right)=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

+ \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}+1-\frac{b^2}{b^2+1}+1-\frac{c^2}{c^2+1}\ge3-\left(\frac{a^2}{2a}+\frac{b^2}{2b}+\frac{c^2}{2c}\right)=3-\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Do đó: \(P\ge3\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

11 tháng 5 2019

Câu a : Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\\\frac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\\\frac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)

Cộng từng vế của BĐT ta thu được :

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c=1\) ( đpcm )

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

14 tháng 5 2019

Đề phải là : \(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\left(x;y;z>0\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b^2}=\frac{y^2}{x};\frac{b}{c^2}=\frac{z^2}{y};\frac{c}{a^2}=\frac{x^2}{z};xyz=1\)

\(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{\frac{2\left(a+b+c\right)}{abc}}\left(abc=1\right)=\frac{9}{2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)}=\frac{9}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)

Khi đó , ta có : \(P=\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{9}{2\left(xy+yz+xz\right)}\)

\(=\frac{x^2}{z}+z+\frac{y^2}{x}+x+\frac{z^2}{y}+y+\frac{9}{2\left(xy+yz+xz\right)}-x-y-z\)

AD BĐT Cauchy , ta có :

\(P\ge2x+2y+2z+\frac{9}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}-\left(x+y+z\right)=x+y+z+\frac{27}{2\left(x+y+z\right)^2}\)

\(=\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{27}{2\left(x+y+z\right)^2}\ge3.\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{9}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

NV
23 tháng 4 2019

\(M=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\)

\(M\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+ac+bc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)

\(M\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{21}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)

\(\Rightarrow M_{min}=30\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

NV
15 tháng 5 2019

\(T=\sum\frac{a}{1+9b^2}=\sum\frac{a\left(1+9b^2\right)-9ab^2}{1+9b^2}=\sum\left(a-\frac{9ab^2}{1+9b^2}\right)\ge\sum\left(a-\frac{9ab^2}{6b}\right)=\sum\left(a-\frac{3}{2}ab\right)\)

\(T\ge a+b+c-\frac{3}{2}\left(ab+ac+bc\right)\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow T_{min}=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

27 tháng 1 2019

Do a,b,c có vai trò hoán vị vòng quang.Ta dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Ta có: \(A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{9abc}\right)+\frac{8}{9abc}\)

\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{8}{9abc}=\frac{4}{a^2+b^2+c^2+9abc}+\frac{4}{9abc}+\frac{4}{9abc}\)

\(\ge\frac{\left(2+2+2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+27abc}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+27abc}\) (Cauchy-Schwarz dạng Engel)

\(\ge\frac{36}{a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^3}=\frac{36}{a^2+b^2+c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)(Cô si kết hợp giả thiết a + b + c = 1)

\(\ge2-\frac{a^2+b^2+c^2+1}{36}\)

Tới đây bí:v