K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

3 tháng 3 2019

dễ thấy...

3 tháng 3 2019

Bài này tương tự bài 20.7 trong quyển Tài liệu chuyên toán THCS 9 tập 1 của ông Tôn thân ý 

Dùng phương pháp quy nạp nhé

2 tháng 8 2023

 Câu đầu tiên của đề bài là "Với mọi \(n\inℤ^+\)..." chứ không phải \(m\) nhé, mình gõ nhầm.

3 tháng 8 2023

a) Ta phân tích \(n=x_1^{a_1}.x_2^{a_2}...x_m^{a_m}\) (với \(x_1;x_2;..x_n\) là số nguyên tố ;

\(a_1;a_2;..a_m\inℕ^∗\) và là số mũ tối đa của mỗi số nguyên tố ) 

Khi đó ta có \(\sigma\left(n\right)=\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)...\left(a_m+1\right)\)

mà \(\sigma\left(n\right)\) lẻ \(\Leftrightarrow\) \(a_1+1;a_2+1;...a_m+1\) lẻ

\(\Leftrightarrow a_1;a_2;..a_m\) chẵn

\(\Leftrightarrow n\) là số chính phương 

=> n luôn có dạng \(n=l^2\) 

Mặt khác  \(x_1;x_2;..x_m\) là số nguyên tố 

Nếu  \(x_1;x_2;..x_m\) đều là số nguyên tố lẻ thì l lẻ

<=> r = 0 nên n = 2r.l2 đúng (1) 

Nếu  \(x_1;x_2;..x_m\) tồn tại 1 cơ số \(x_k=2\) 

TH1 :  \(a_k\) \(⋮2\) 

\(\Leftrightarrow a_k+1\) lẻ => \(\sigma\left(n\right)\) lẻ (thỏa mãn giả thiết)

=> n có dạng n = 2r.l2 (r chẵn , l lẻ)(2) 

TH2 : ak lẻ

Ta dễ loại TH2 vì khi đó \(a_k+1⋮2\)  nên \(\sigma\left(n\right)⋮2\) (trái với giả thiết) 

Nếu  \(n=2^m\) (m \(⋮2\)) thì r = m ; l = 1 (tm) (3)

Từ (1);(2);(3) => ĐPCM 

NV
24 tháng 1 2022

\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)

\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)

\(=x+\sqrt{xyz}\)

Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)

\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)

16 tháng 6 2019

Câu 8 :

\(N=\left(\frac{x-1}{\left(x-1\right)^2+x}-\frac{2}{x-2}\right):\left(\frac{\left(x-1\right)^4+2}{\left(x-1\right)^3-1}-x+1\right)\)

Đặt \(x-1=a\)

\(N=\left(\frac{a}{a^2+x}-\frac{2}{a-1}\right):\left(\frac{a^4+2}{a^3-1}-a\right)\)

\(N=\frac{a\left(a-1\right)-2\left(a^2+x\right)}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}:\frac{a^4+2-a\left(a^3-1\right)}{a^3-1}\)

\(N=\frac{a^2-a-2a^2-2x}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}:\frac{a^4+2-a^4+a}{a^3-1}\)

\(N=\frac{-a^2-a-2x}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}\cdot\frac{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}{2+a}\)

\(N=\frac{-\left(a^2+a+2x\right)\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2+x\right)\left(2+a\right)}\)

\(N=\frac{-\left[\left(x-1\right)^2+x-1+2x\right]\left[\left(x-1\right)^2+x-1+1\right]}{\left[\left(x-1\right)^2+x\right]\left(2+x-1\right)}\)

\(N=\frac{-\left(x^2+x\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(N=\frac{-x\left(x+1\right)}{x+1}\)

\(N=-x\)( đpcm )

16 tháng 6 2019

Câu 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=\frac{x^2}{x+4}\cdot\left(\frac{x^2+16}{x}+8\right)+9\)

Bài làm :

\(P=\frac{x^2}{x+4}\cdot\frac{x^2+8x+16}{x}+9\)

\(P=\frac{x^2\left(x+4\right)^2}{x\left(x+4\right)}+9\)

\(P=x\left(x+4\right)+9\)

\(P=x^2+4x+9\)

\(P=\left(x+2\right)^2+5\ge5\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-2\)

NV
27 tháng 3 2021

Ta có:

\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Ta có:

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}+1\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}\) 

Tương tự ...

Cộng lại ta có:

\(2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+6\ge3\left(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}-\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{y}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{z}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{z}{y}}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

NV
2 tháng 2

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2+\left(x+1\right)^2+x^2\left(x+1\right)^2}{x^2\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2\left(x+1\right)^2+2x^2+2x+1}{x^2\left(x+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1}{\left(x^2+x\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)^2}{\left(x^2+x\right)^2}}=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+x}\)

\(=1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)...f\left(2020\right)=5^{1+1-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+1+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2021}}\)

\(=5^{2021-\dfrac{1}{2021}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{m}{n}=2021-\dfrac{1}{2021}=\dfrac{2021^2-1}{2021}\)

\(\Rightarrow m-n^2=2021^2-1-2021^2=-1\)

24 tháng 6 2018

Câu 1:

\(\sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x-a}+2\sqrt{y-b}+2\sqrt{z-c}=x+y+z\\ \Leftrightarrow x+y+z-2\sqrt{x-a}-2\sqrt{y-b}-2\sqrt{z-c}=0\\ \Leftrightarrow x+y+z-2\sqrt{x-a}-2\sqrt{y-b}-2\sqrt{z-c}+3-a-b-c=0\\ \Leftrightarrow\left[\left(x-a\right)-2\sqrt{x-a}+1\right]+\left[\left(y-b\right)-2\sqrt{y-b}+1\right]+\left[\left(z-c\right)-2\sqrt{z-c}+1\right]=0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-a}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-b}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-c}-1\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-a}-1=0\\\sqrt{y-b}-1=0\\\sqrt{z-c}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-a}=1\\\sqrt{y-b}=1\\\sqrt{z-c}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-a=1\\y-b=1\\z-c=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=a+1\\y=b+1\\z=c+1\end{matrix}\right.\)Vậy \(\left\{x;y;z\right\}=\left\{a+1;b+1;c+1\right\}\)

24 tháng 6 2018

Câu 2:

\(\text{ a) Ta có }:\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \dfrac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{\left(\sqrt{n-1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}\\ =\dfrac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-n+1}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\left(1\right)\)

\(\text{Lại có: }\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\dfrac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\\ =\dfrac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n+1-n}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)\(\left(2\right)\Rightarrow2\left(\sqrt{n+1}-n\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

b) Áp dụng bất đảng thức ở câu a:

\(\Rightarrow S=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\\ >2\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}\right)+...+\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\\ =2\left(\sqrt{101}-\sqrt{100}+...+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\\ =2\left(\sqrt{101}-\sqrt{1}\right)>2\left(\sqrt{100}-1\right)=2\left(10-1\right)=18\left(3\right)\)

\(\Rightarrow S=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}< 2\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)+...+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}\right)\\ =2\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}+...+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{1}\right)\\ =2\cdot\sqrt{100}=2\cdot10=20\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right)\)\(\left(4\right)\Rightarrow18< S< 20\)