Question

[Đoàn Phi Long]

các bạn giúp mình với ạ..

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

\(f\left(x\right)=\frac{x+m}{x+1}\)với \(x\in\left[0,1\right]\).

\(f'\left(x\right)=\frac{1-m}{\left(x+1\right)^2}\)

Với \(m=1\): \(f'\left(x\right)=0,\forall x\in\left[0,1\right]\)

\(f\left(x\right)=1\)suy ra \(max_{\left[0,1\right]}\left|f\left(x\right)\right|+min_{\left[0,1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=1+1=2\)thỏa mãn. 

Với \(m\ne1\): \(f'\left(x\right)\)đơn điệu với \(x\in\left[0,1\right]\).

Ta có: \(f\left(0\right)=m,f\left(1\right)=\frac{m+1}{2}\).

Với \(f\left(0\right)f\left(1\right)\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m\ge0\\m\le-1\end{cases}}\)ta có: 

\(max_{\left[0,1\right]}\left|f\left(x\right)\right|+min_{\left[0,1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=\left|m\right|+\left|\frac{m+1}{2}\right|\)

\(=\left|\frac{3m+1}{2}\right|=2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\left(l\right)\\m=-\frac{5}{3}\left(tm\right)\end{cases}}\)

Với \(f\left(0\right)f\left(1\right)< 0\Leftrightarrow-1< m< 0\).

Khi đó \(min_{\left[0,1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=0,max_{\left[0,1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=max\left\{\left|f\left(0\right)\right|,\left|f\left(1\right)\right|\right\}\).

\(max_{\left[0,1\right]}\left|f\left(x\right)\right|+min_{\left[0,1\right]}\left|f\left(x\right)\right|=max\left\{\left|f\left(0\right)\right|,\left|f\left(1\right)\right|\right\}\)

\(=max\left\{\left|m\right|,\left|\frac{m+1}{2}\right|\right\}=2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left|m\right|=2\\\left|\frac{m+1}{2}\right|=2\end{cases}}\)

Giải ra các giá trị của \(m\)ta thấy đều không thỏa mãn. 

Vậy \(m\in\left\{1,-\frac{5}{3}\right\}\).

Chọn B.