Cho x,y,z > 0 và x+y+z = 1 tìm GTLN của A = \(\sqrt[3]{x+y}+\sqrt[3]{y+z}+\sqrt[3]{x+z}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HD
18 tháng 12 2015
bài này dễ nhưng bạn phải chứng minh bđt này đã:
\(\frac{1}{a+b+c+d}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\)
với a;b;c;d là các số dương
bạn có thể cm bđt trên bằng cách biến đổi tương đương hoặc cm bđt Schwat (Sơ-vác)
Mình là 1 phần tử đại diện còn lại là hoàn toàn tt nhé
ta có \(\frac{1}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{1}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)}\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\right)\)
Tương tự ta cm được
\(VT\le\frac{1}{16}.4\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)\(=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}\)
dấu "=" khi x=y=z
LV
19 tháng 10 2016
Áp dụng cauchy 3 số \(\sqrt[3]{x+3y}\)=1.1.\(\sqrt[3]{x+3y}\)\(\le\)\(\frac{1+1+x+3y}{3}\)
Tương tự ta có P\(\le\)\(\frac{2+2+2+\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)}{3}\)=\(\frac{6+4\left(x+y+z\right)}{3}\)=\(\frac{6+3}{3}\)=3
Dấu = xảy ra khi : x=y=z=\(\frac{1}{4}\)
N
3
G
14 tháng 5 2019
Ta có: \(x+y+z=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\\\sqrt{y+xz}=\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\\\sqrt{z+xy}=\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\end{cases}}\)
Ta viết lại A
\(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM:
\(A\le\frac{x+y+x+z+x+y+y+z+y+z+x+z}{2}=2\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
14 tháng 5 2019
\(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz\)
\(=x^2+xy+xz+yz\)
\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
+ Tương tự : \(y+xz=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(z+xy=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
+ Theo bđt AM-GM : \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{x+y+x+z}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\le\frac{2x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+y=x+z\Leftrightarrow y=z\)
+ Tương tự ta cm đc :
\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\le\frac{x+2y+z}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=z\)
\(\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\le\frac{x+y+2z}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
Do đó : \(A\le\frac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\)
A = 2 \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy Max A = 2 \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
22 tháng 6 2020
Đầu tiên ta chứng minh được: \(\sum\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sum\sqrt{x}\right)^2}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\le3\)
Ta lại có: \(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}=\sqrt{\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\right)^2}\le\sqrt{2\left(1+x^2+2x\right)}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
Tương tự, ta sẽ có: \(P\le\sqrt{2}\left(x+1+y+1+z+1\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le\sqrt{2}.6+\left(2-\sqrt{2}\right)3=6+\sqrt{2}.3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2021
\(\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}\le\sqrt{4x+\dfrac{1}{2}\left(2^2+x\right)+1}=\sqrt{\dfrac{9x}{2}+3}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{21}}.\sqrt{21}.\sqrt{\dfrac{9x}{2}+3}\le\dfrac{1}{2\sqrt{21}}\left(21+\dfrac{9x}{2}+3\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{21}}\left(\dfrac{9x}{2}+24\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{21}}\left(\dfrac{9}{2}\left(x+y+z\right)+72\right)=3\sqrt{21}\)
\(A_{max}=3\sqrt{21}\) khi \(x=y=z=4\)
XO
30 tháng 12 2021
\(A=1\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}+1.\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}+1\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\)
\(\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(4\left(x+y+z\right)+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+3\right)}\)
\(=\sqrt{3.\left[51+\dfrac{4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}{2}\right]}\)
\(\le\sqrt{3.\left[51+\dfrac{x+y+z+12}{2}\right]}\)
\(=\sqrt{189}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4
MD
1
16 tháng 7 2021
\(=>A=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
áp dụng BĐT AM-GM
\(=>\sqrt{x-1}\le\dfrac{x-1+1}{2}=\dfrac{x}{2}\)
\(=>\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{\dfrac{x}{2}}{x}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)
có \(\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}=\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\)
\(=>\sqrt{\left(y-2\right)2}\le\dfrac{y-2+2}{2}=\dfrac{y}{2}\)
\(=>\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\le\dfrac{\dfrac{y}{2}}{\sqrt{2}.y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\right)\)
tương tự \(=>\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(3\right)\)
(1)(2)(3)\(=>A\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
YY
5 tháng 6 2018
\(x+\sqrt{x+yz}=x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=x+\sqrt{x^2+yz+x\left(z+y\right)}\)
\(\ge x+\sqrt{2\sqrt{x^2yz}+x\left(y+z\right)}=x+\sqrt{x\cdot2\sqrt{yz}+x\left(y+z\right)}=x+\sqrt{x\left(y+z+2\sqrt{yz}\right)}\)
\(=x+\sqrt{x\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}=x+\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}\le\frac{x}{x+\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
tương tự :
\(\frac{y}{y+\sqrt{y+xz}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{z}}\)
\(\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
cộng vế theo vế ta được
\(\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
dấu "=" xảy tra khi x=y=z=1/3