Cho tam giác ABC vuông tại A,AB < AC,M là trung điểm của AC. Đường thẳng qua M vuông góc với BC và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Chứng minh rằng AD vuông góc với BM.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 6 2023
Xét ΔDAC có góc DAC=góc DCA
nên ΔDAC cân tại D
=>M là trung điểm của AC
13 tháng 12 2023
a: Xét ΔAMB và ΔAMC có
AM chung
MB=MC
AB=AC
Do đó: ΔAMB=ΔAMC
b: Ta có; ΔAMB=ΔAMC
=>\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
=>AM\(\perp\)BC
c: Xét ΔABI vuông tại B và ΔACI vuông tại C có
AI chung
AB=AC
Do đó: ΔABI=ΔACI
=>IB=IC
d: Ta có: IB=IC
=>I nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: ΔABC cân tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM là trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra A,M,I thẳng hàng
3 tháng 7 2018
Gọi giao điểm của 2 tia EC và BI là F, nối FA.
Xét \(\Delta\)BAI và \(\Delta\)FCI có: AI=CI; ^BAI = ^FCI; ^AIB = ^CIF => \(\Delta\)BAI=\(\Delta\)FCI (g.c.g)
=> AB=CF (2 cạnh tương ứng).
Ta có: AB vuông AC; CE vuông AC => AB // CE hay AB // CF
Xét tứ giác ABCF: AB // CF; AB=CF => Tứ giác ABCF là hình bình hành
=> AF // BC. Mà EI vuông BC nên EI vuông AF.
Xét \(\Delta\)AEF: AC vuông EF; EI vuông AF; điểm I thuộc AC => I là trực tâm \(\Delta\)AEF
=> FI vuông AE. Lại có: Tứ giác ABCF là hình bình hành; I là trung điểm đường chéo AC
=> 3 điểm F;I;B thẳng hàng. Vậy khi FI vuông AE thì BI cũng vuông AE (đpcm).
HN
3 tháng 3 2021
a) Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AC\\KC\perp AC\end{matrix}\right.\) ⇒ \(BH\text{//}KC\)
\(\left\{{}\begin{matrix}CH\perp AB\\BK\perp AB\end{matrix}\right.\) ⇒ \(CH\text{//}BK\)
\(Xét\) \(tứ\) \(giác\) \(BKCH\) \(có:\) \(\left\{{}\begin{matrix}BH\text{//}KC\\CH\text{//}BK\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác \(BKCH\) là hình hình hành. Mà M là trung điểm của đường chéo BC
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}H,M,K_{ }thẳng_{ }hàng\\HM=MK\end{matrix}\right.\)
Xét \(\Delta AHK\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AI=IK\left(gt\right)\\HM=MK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
⇒ \(IM\) là đường trung bình của \(\Delta AHK\)
⇒ \(IM=\dfrac{1}{2}AH\) \(\left(ĐPCM\right)\)
c)
Ta có:
\(\dfrac{S_{\Delta HBC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HD.BC}{\dfrac{1}{2}.AD.BC}=\dfrac{HD}{AD}\)
\(\dfrac{S_{\Delta HAC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HE.AC}{\dfrac{1}{2}.BE.AC}=\dfrac{HE}{BE}\)
\(\dfrac{S_{\Delta HBA}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HF.AB}{\dfrac{1}{2}.CF.AB}=\dfrac{HF}{CF}\)
⇒ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{\Delta HBC}+S_{\Delta HAC}+S_{\Delta HAB}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABC}}\)
⇔ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\) \(\left(ĐPCM\right)\)
