K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 10 2022

\(\Leftrightarrow4x^2+y^2+z^2+t^2-2xy+2xz-2xt>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+2xz+z^2\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+x^2>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(x-t\right)^2+x^2>=0\)(luôn đúng)

19 tháng 10 2018

\(4x^2+y^2+z^2+t^2\ge2x\left(y+z+t\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^2+y^2+z^2+t^2-2xy-2xz-2xt\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+x^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(x-t\right)^2+x^2\ge0\)(đúng)

=>đpcm

"="<=>x=y=z=t=0

26 tháng 4 2020

Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)(1)

<=> \(2x^2+2y^2+2z^2+2t^2-2xy-2xz-2xt\ge0\)

<=> \(\left(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz\right)+\left(y^2+z^2-2yz\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+t^2\ge0\)

<=> \(\left(x-y-z\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-t\right)^2+t^2\ge0\)đúng 

=> (1) đúng 

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 0

26 tháng 4 2020

Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)

<=> \(x^2+y^2+z^2+t^2-x\left(y+z+t\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{4}-xy+y^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xz+z^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xt+t^2\right)+\frac{x^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{2}-y\right)^2+\left(\frac{x}{2}-z\right)^2+\left(\frac{x}{2}-t\right)^2\ge0\)(BĐT đúng)

Vậy có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\left(\frac{x}{2}-y\right)^2=\left(\frac{x}{2}-z\right)^2=\left(\frac{x}{2}-t\right)^2=\frac{x^2}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}-y=\frac{x}{2}-z=\frac{x}{2}-t=x=0\)

<=> x=y=z=t=0

NV
1 tháng 8 2020

\(P=3x^2+3z^2+10y^2+10t^2+8xy+8zt+4zx+2yz+2xt\)

\(P\le5x^2+5z^2+10y^2+10t^2+8xy+8zt+2yz+2xt\)

\(P\le10+5y^2+5t^2+8xy+8zt+2yz+2xt\)

\(\left\{{}\begin{matrix}8xy=\left(2+2\sqrt{5}\right)\left[2.x.\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}y\right]\le\left(2+2\sqrt{5}\right)\left[x^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)y^2\right]\\8zt\le\left(2+2\sqrt{5}\right)\left[z^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)t^2\right]\\2yz\le\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left[z^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)y^2\right]\\2xt\le\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x^2+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)t^2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\le10+\frac{5}{2}\left(\sqrt{5}+1\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\le15+5\sqrt{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x=z=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}\\y=t=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\end{matrix}\right.\)