(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HR
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 9 2021
Với x;y dương, ta có BĐT:
\(x^5+y^5\ge x^2y^2\left(x+y\right)\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(x^5-x^4y+y^5-xy^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\Rightarrow A\le\dfrac{ab}{a^2b^2\left(a+b\right)+ab}+\dfrac{bc}{b^2c^2\left(b+c\right)+bc}+\dfrac{ca}{c^2a^2\left(c+a\right)+ca}\)
\(A\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\dfrac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)
\(A\le\dfrac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\dfrac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\dfrac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}=\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}=1\)
ND
0
DT
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 1 2022
Ta cần chứng minh:
\(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge48\left(\dfrac{a+b+c}{2}\right)\left(\dfrac{a+b-c}{2}\right)\left(\dfrac{b+c-a}{2}\right)\left(\dfrac{c+a-b}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)
Mặt khác do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác:
\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\le abc\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) (đúng)
\(\text{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=}a^2b+abc+a^2c+ab^2+b^2c+abc+abc+bc^2+ac^2-abc\)
\(=\left(a^2b+2abc+bc^2\right)+\left(a^2c+ac^2\right)+\left(ab^2+b^2c\right)\)
\(=b\left(a^2+2ac+c^2\right)+ac\left(a+c\right)+b^2\left(a+c\right)\)
\(=\left(a+c\right)\left[b\left(a+c\right)+ac+b^2\right]\)
\(=\left(a+c\right)\left(ab+bc+ac+b^2\right)\)
\(=\left(a+c\right)\left[a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)\right]\)
\(=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)