cho ΔABC , trên cạnh BC ,CA ,AB lấy các điểm D,E,F ( khác các đỉnh ) sao cho AD,BE,CF cắt nnhau tại H .
c/m : a) \(\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}=2\)
b)\(\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}>b\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 12 2017
\(\Delta ABH\) và \(\Delta ABD\) có chung đường cao kẻ từ B -> AD nên \(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ABD}}\) (1)
\(\Delta AHC\) và \(\Delta ADC\) có chung đường cao kẻ từ C -> AD nên \(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{S_{AHC}}{S_{ADC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ABD}}=\dfrac{S_{AHC}}{S_{ADC}}=\dfrac{S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABD}+S_{ADC}}=\dfrac{S_{ABH}+S_{ACH}}{S_{ABC}}\)(áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau)
CMTT: \(\dfrac{BH}{BE}=\dfrac{S_{ABH}+S_{BCH}}{S_{ABC}}\)
\(\dfrac{CH}{CF}=\dfrac{S_{ACH}+S_{BCH}}{S_{ABC}}\)
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được :
\(\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}=\dfrac{2\left(S_{ABH}+S_{ACH}+S_{BCH}\right)}{S_{ABC}}=\dfrac{2S_{ABC}}{S_{ABC}}=2\)
(đpcm)
LD
18 tháng 1 2019
Đặt SAHB = S1, SAHC = S2, SBHC = S3
a.
\(\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{S_1}{S_{ABD}}=\dfrac{S_2}{S_{ACD}}=\dfrac{S_1+S_2}{S}\)
Tương tự:
\(\dfrac{BH}{BE}=\dfrac{S_1+S_3}{S};\dfrac{CH}{CF}=\dfrac{S_2+S_3}{S}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}=\dfrac{2\left(S_1+S_2+S_3\right)}{S}=\dfrac{2S}{S}=2\)
b.
\(\dfrac{AH}{HD}=\dfrac{S_1}{S_{BHD}}=\dfrac{S_2}{S_{CHD}}=\dfrac{S_1+S_2}{S_3}\)
Tương tự:
\(\dfrac{BH}{HE}=\dfrac{S_1+S_3}{S_2};\dfrac{CH}{HF}=\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{HD}+\dfrac{BH}{HE}+\dfrac{CH}{HF}=\dfrac{AD}{HD}+\dfrac{BE}{HE}+\dfrac{BF}{HF}-3\)
\(=\dfrac{S}{S_1}+\dfrac{S}{S_2}+\dfrac{S}{S_3}-3\ge\dfrac{9S}{S_1+S_2+S_3}-3=\dfrac{9S}{S}-3=6\)
Dấu "=" xảy ra khi H là trọng tâm tam giác ABC