cho a,b,c là số dương cm\(\frac{a}{b+c}\)+\(\frac{b}{a+c}\)+\(\frac{c}{a+b}\)\(\frac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 8 2016
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt ta có \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}.\)
Mặt khác, \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\), do đó ta suy ra \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2.\)
15 tháng 8 2016
P=\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2\)
10 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT Svác ta có:
\(\frac{a^2}{2b+c}+\frac{b^2}{2c+a}+\frac{c^2}{2a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{3}\)
27 tháng 2 2020
\(\Sigma\left(\frac{a^3}{a^2+b^2}\right)=\Sigma\left(\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}\right)=\Sigma\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\ge\Sigma\left(a-\frac{ab^2}{2ab}\right)=\Sigma\left(a-\frac{b}{2}\right)\)
\(=a+b+c-\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
26 tháng 4 2019
\(3-B=\left(a-\frac{a}{1+b^2}\right)+\left(b-\frac{b}{1+c^2}\right)+\left(c-\frac{c}{1+a^2}\right)=\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2}+\frac{a^2}{1+a^2}\le\frac{b^2}{2b}+\frac{c^2}{2c}+\frac{a^2}{2a}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)
=> \(B\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Y
26 tháng 4 2019
\(B=\frac{a\left(b^2+1\right)-ab^2}{b^2+1}+\frac{b\left(c^2+1\right)-bc^2}{c^2+1}+\frac{c\left(a^2+1\right)-ca^2}{c^2+1}\)
\(\Leftrightarrow B=a-\frac{ab^2}{b^2+1}+b-\frac{bc^2}{c^2+1}+c-\frac{ca^2}{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow B=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\)
+ \(b^2+1\ge2b\forall b\)
\(\Rightarrow\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)
+ Tương tự ta cm đc :
\(\frac{bc^2}{c^2+1}\le\frac{bc}{2}\) . Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)
\(\frac{ca^2}{a^2+1}\le\frac{ca}{2}\). Dấu '=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
Do đó : \(\frac{ab^2}{a^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\le\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
+ \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Do đó : \(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\le\frac{ab+bc+ca}{2}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge-\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow B=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
T
7 tháng 4 2020
BĐT bên trái hiển nhiên là Nesbitt.
BĐT bên phải:
Sau khi quy đồng, phân tích thành nhân tử các kiểu gì đó thì cần chứng minh:
Giả sử 
. Ta cần chứng minh:
Đặt 
thì 
.
Cần chứng minh:
P/s: Bài này SOS bằng tay đẹp lắm mà thôi tạm thời làm biếng nên không SOS, dùng BW cho nhanh:P
14 tháng 4 2020
SOS của tth_new ghê vãi,đề nghị tth_new check fb giúp t,nói mãi -_-
KMTTQ giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}\right)+\left(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(\frac{a}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}\right)+b\left(\frac{b}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}\right)+c\left(\frac{c}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left[\frac{ab+ac-b^2-c^2}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\right]+b\left[\frac{bc+ba-c^2-a^2}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\right]+c\left[\frac{ca+cb-a^2-b^2}{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left[\frac{b\left(a-b\right)+c\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\right]+b\left[\frac{c\left(b-c\right)+a\left(b-a\right)}{\left(c^2+a^2\right)\left(c+a\right)}\right]+c\left[\frac{a\left(c-a\right)+b\left(c-b\right)}{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left[\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(b^2+c^2\right)\left(b+c\right)}-\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(c^2+a^2\right)\left(c+a\right)}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma ab\left(a-b\right)\left[\frac{1}{\left(b^2+c^2\right)\left(b+c\right)}-\frac{1}{\left(c^2+a^2\right)\left(c+a\right)}\right]\ge0\) ( đúng )
Vậy ta có ĐPCM
VT
18 tháng 6 2017
giả sử a\(\le\)b \(\le\)c.
khi đó \(\frac{a}{b+c}\le\frac{b}{c+a}\le\frac{c}{a+b}\)
áp dụng BĐT Trê bư sép ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\le3\left(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\right)=3VT\)
lại có a2 + b2 + c2 \(\ge\) \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) nên:
3VT \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
hay VT \(\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\). đpcm
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel :
\(\text{∑}\frac{a}{b+c}=\text{∑}\frac{a^2}{ab+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)(1)
Bạn chứng minh bđt \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\text{∑}\frac{a}{b+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c