Cho ∆ ABC. Ở miền ngoài của ∆ ABC. Vẽ hai ∆ ABD và ∆ ACE là những tam giác vuông tại A và có AD = AB, AC = AE. Gọi H là chân đường vuông góc, kẻ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC. Từ HA cắt DE tại K, tia MA cắt DE tại I. Chứng minh:
a) AI vuông góc với DE
b) KD vuông góc với KE
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, trên tia đối của tia MA lấy O sao cho MO=MA
=> t. giác BMO=t.giác CMA(c.g.c)
=> BO=CA mà CA=AE => BO=AE(*) ; \(\widehat{MAC}\)=\(\widehat{O}\)
Ta có: \(\widehat{ABO}\)+ \(\widehat{BAO}\)+ \(\widehat{O}\)= 180 độ
=> \(\widehat{ABO}\)+ \(\widehat{BAO}\)+\(\widehat{MAC}\)=180 độ
=> \(\widehat{ABO}\)+\(\widehat{A}\)=180 độ
do \(\widehat{DAE}\)+\(\widehat{A}\)=180 độ
=> \(\widehat{ABO}\)=\(\widehat{DAE}\)(**)
xét t.giác ABO và t.giác DAE có:
BO=AE
\(\widehat{ABO}\)=\(\widehat{DAE}\)
AB=AE(gt)
=> t.giác ABO=t.giác DAE(c.g.c)
=> \(\widehat{BAO}\)=\(\widehat{ADE}\)mà \(\widehat{BAO}\)+\(\widehat{DAI}\)=90 độ => \(\widehat{ADE}\)+\(\widehat{DAI}\)=90 độ
=> \(\widehat{DIA}\)=90 độ=> AI\(\perp\)DE
b)từ D kẻ DP\(\perp\)AH; từ E kẻ EQ\(\perp\)AH
ta có: t.giác AHB=t.giác DPA(CH-GN)=> DP=AH(1)
t.giác AEQ=t.giác CAH(CH-GN)=> QE=AH(2)
từ (1) và (2) suy ra DP=QE
xét 2 tam giác vuông PKD và QKE có:
DP=QE(cmt)
\(\widehat{PDK}\)=\(\widehat{KEQ}\)(vì so le)
=> t.giác PKD=t.giác QKE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
=> KD=KE(2 cạnh tương ứng)