Question

[Linh Nhi]

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3cm, AC= 4cm. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, kẻ tia Bx song song với AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC và Bx theo thứ tự tại M và N.

a) Chứng minh tam giác ABN là tam giác vuông cân

b) Tính diện tích tứ giác ABNC

c) Chứng minh Tam giác ACM đồng dạng với tam giác NBM . C/m \(\dfrac{AB}{AC}\)=\(\dfrac{MN}{AM}\)

Answer 1

[Ma Sói]

a) Ta có:

AM là tai phân giác \(\widehat{BAC}\) (gt)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{90^o}{2}=45^o\)

Xét tam giác BAM vuông tại B ta có:

\(\widehat{BAM}=45^o\)(cmt)

Nên tam giác BAM vuông cân tại B

b) Ta có:

\(S_{ABNC}=\dfrac{\left(AC+BN\right).AB}{2}\)

Mà AB=BN( tam giác BAM vuông cân tại B)

Nên \(S_{ABNC}=\dfrac{\left(AC+AB\right).AB}{2}=\dfrac{\left(3+4\right).4}{2}=14\left(cm^2\right)\)

c) Xét tam giác AMC và tam giác BMN, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CAM}=\widehat{MNB}\left(AC//BN\right)\\\widehat{ACM}=\widehat{MBN}\left(AC//BN\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMC\sim\Delta NMB\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{MN}{AM}\left(tsdd\right)\)

Xét tam giác ABC ta có:

AM là tia phân giác (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BM}{MC}\) (tc đường phân giác)

Mà \(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{MN}{AM}\left(cmt\right)\)

Nên \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{MN}{AM}\)