CMR : \(a^3+b^3\le\left(a+b\right)^3\)\(\left(a,b\in N\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
0
TN
2
18 tháng 10 2015
(a + b)3 = (a + b).(a+ b)2 = (a+ b).(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= (a3 + b3) + 3a2b + 3ab2 > a3 + b3
Vì a; b \(\in\) N nên 3a2b + 3ab2 > 0
Vậy (a+ b)3 > a3 + b3 . Dấu "=" xảy ra khi a = b = 0
22 tháng 4 2018
bài làm
(a + b)3
= (a+ b).(a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= (a3 + b3) + 3a2b + 3ab2 > a3 + b3
Do a; b ∈ N nên 3a2b + 3ab2 > 0
Vậy (a+ b)3 > a3 + b3 .
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 0
hok tốt
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2022
1. Đề sai, ví dụ (a;b;c)=(1;2;2) hay (1;2;7) gì đó
2. Theo nguyên lý Dirichlet, trong 4 số a;b;c;d luôn có ít nhất 2 số đồng dư khi chia 3.
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b thì \(a-b⋮3\)
Ta có 2 TH sau:
- Trong 4 số có 2 chẵn 2 lẻ, giả sử a, b chẵn và c, d lẻ \(\Rightarrow a-b,c-d\) đều chẵn \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(c-d\right)⋮4\)
\(\Rightarrow\) Tích đã cho chia hết 12
- Trong 4 số có nhiều hơn 3 số cùng tính chẵn lẽ, khi đó cũng luôn có 2 hiệu chẵn (tương tự TH trên) \(\Rightarrowđpcm\)
3. Với \(n=1\) thỏa mãn
Với \(n>1\) ta có \(3^n\equiv\left(5-2\right)^n\equiv\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow n.2^n+3^n\equiv n.2^n+\left(-2\right)^n\left(mod5\right)\)
Mặt khác \(n.2^n+\left(-2\right)^n=2^n\left(n+\left(-1\right)^n\right)\)
Mà \(2^n⋮̸5\Rightarrow n+\left(-1\right)^n⋮5\)
TH1: \(n=2k\Rightarrow2k+1⋮5\Rightarrow2k+1=5\left(2m+1\right)\Rightarrow k=5m+2\)
\(\Rightarrow n=10m+4\)
TH2: \(n=2k+1\Rightarrow2k+1-1⋮5\Rightarrow2k⋮5\Rightarrow k=5t\Rightarrow n=10t+1\)
Vậy với \(\left[{}\begin{matrix}n=10k+4\\n=10k+1\end{matrix}\right.\) (\(k\in N\)) thì số đã cho chia hết cho 5
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 5 2019
Lời giải:
Xét hiệu:
\(2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)=2(a^4+b^4)-(a^4+ab^3+a^3b+b^4)\)
\(=a^4+b^4-a^3b-ab^3=(a^4-a^3b)-(ab^3-b^4)\)
\(=a^3(a-b)-b^3(a-b)=(a^3-b^3)(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b)\)
\(=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\)
Vì : \((a-b)^2\geq 0, \forall a,b\in\mathbb{R}\)
\(a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\geq 0, \forall a,b\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow 2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0\)
\(\Rightarrow 2(a^4+b^4)\geq (a+b)(a^3+b^3)\)
Ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
Do \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
Nên BĐT tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=x\\ab+bc+ca=y\end{matrix}\right.\) với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ge y\end{matrix}\right.\)
BĐT tương đương:
\(\left(x+2y\right)\left(x-y\right)^2\le x^3\)
\(\Leftrightarrow x^3-3xy^2+2y^3\le x^3\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(3x-2y\right)\ge0\)
Hiển nhiên đúng do \(3x-2y=x+2\left(x-y\right)\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(ab+bc+ca=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 5 2021
Bài này có bạn giải rồi:
Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng :\(\dfrac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{c\left(2b-c\right)}{... - Hoc24
Điều kiện của a; b là ?
a = 2; b = -1 thì điều trên ko đúng