Question

[Lê Thị Vân Anh]

Tìm các số nguyên x sao cho \(x^3-3x^2+x+2\) là số chính phương

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có:

\(A=x^3-3x^2+x+2=x^2(x-2)-x(x-2)-(x-2)\)

\(A=(x-2)(x^2-x-1)\)

Xét TH \(x^2-x-1<0\Leftrightarrow 4x^2-4x-4<0\)

\(\Leftrightarrow (2x-1)^2-5<0\)

\(\Leftrightarrow (2x-1)^2<5<9\)

\(\Leftrightarrow -3< 2x-1< 3\Leftrightarrow -1< x< 2\)

Thử \(x=0; 1\) có \(x=1\) thỏa mãn.

Xét TH \(x^2-x-1\geq 0\Rightarrow x-2\geq 0\)

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất giữa \((x-2, x^2-x-1)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-2\vdots d\rightarrow (x-2)(x+1)\vdots d\\ x^2-x-1\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (x^2-x-2)-(x^2-x-1)\vdots d\)

\(\Leftrightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)

Do đó $x-2, x^2-x-1$ nguyên tố cùng nhau. Do đó để A là số chính phương thì bản thân $x-2$ và $x^2-x-1$ là số chính phương

Đặt \(\left\{\begin{matrix} x-2=a^2\\ x^2-x-1=b^2\end{matrix}\right.\)

Xét \(x^2-x-1=b^2\) với \(b\in\mathbb{Z}\). Ta có thể coi \(b\geq 0\)

\(\Rightarrow 4x^2-4x-4=(2b)^2\)

\(\Leftrightarrow (2x-1)^2-5=(2b)^2\)

\(\Leftrightarrow 5=(2x-1-2b)(2x-1+2b)\)

Vì \(2x-1-2b\leq 2x-1+2b\) nên xét các TH sau:

TH1: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1-2b=1\\ 2x-1+2b=5\end{matrix}\right.\Rightarrow 4x-2=6\Rightarrow x=2\) (thỏa mãn)

TH2: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1-2b=-5\\ 2x-1+2b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow 4x-2=-6\Rightarrow x=-1\) (vô lý vì \(x-2\geq 0\) )

Vậy \(x\in\left\{1; 2\right\}\)