Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(x^3+x^2+2025\) là số chính phương nhỏ hơn 10000. Ta có phương trình:
\(x^3+x^2+2025 =k^2(k \in N,k^2<10000 \Leftrightarrow
k<100)\)
\(\Leftrightarrow
\)\(2025=k^2-x^2(x+1)\)
\(\Leftrightarrow
\)\(2025=(k-x\sqrt{x+1})(k+x\sqrt{x+1})\)
Mà \(k-x\sqrt{x+1} < k+x\sqrt{x+1}< 100\)(Vì \(k < 100\))
\(\Rightarrow \)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k+x\sqrt{x+1}=81\\
k-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\\
\begin{cases}
k+x\sqrt{x+1}=75\\
k-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
2k=106\\
k-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\\
\begin{cases}
2k=102\\
k-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\\
53-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\\
\begin{cases}
k=51\\
51-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\\
x\sqrt{x+1}=28
\end{cases}\\
\begin{cases}
k=51\\
x\sqrt{x+1}=24
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\\
x^3+x^2-784=0
\end{cases}\\
\begin{cases}
k=51\\
x^3+x^2-576=0
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\\
x^3+x^2-784=0(PTVN)
\end{cases}\\
\begin{cases}
k=51\\
x^3-8x^2+9x^2-72x+72x-576=0
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}
k=51\\
(x-8)(x^2+9x+72)=0
\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}
k=51(t/m)\\
\left[\begin{array}{}
x=8(t/m)\\
(x+\frac{9}{2})^2+\frac{207}{4}=0(PTVN)
\end{array} \right.
\end{cases}\)
Vậy chỉ có giá trị \(x=8\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
P/s: Cái c/m vô nghiệm kia mình không biết làm. Chỉ biết bấm máy tính không ra nghiệm nguyên
a, \(P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{5-\sqrt{x}}-\frac{3x+4\sqrt{x}-5}{x-4\sqrt{x}-5}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}-\frac{3x+4\sqrt{x}-5}{x-4\sqrt{x}-5}\)
\(P=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}-\frac{3x+4\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}\)
\(P=\frac{x-3\sqrt{x}-10+x+4\sqrt{x}+3-3x-4\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}\)
\(P=\frac{-x-3\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}\)
\(P=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(-\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}=\frac{-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-5}\)
để P > -2
\(\Rightarrow\frac{-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-5}>-2\) đoạn này đang chưa nghĩ ra
c, \(P=\frac{-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-5}\in Z\) \(\Rightarrow-\sqrt{x}-2⋮\sqrt{x}-5\)
=> -căn x + 5 - 7 ⋮ căn x - 5
=> -(căn x - 5) - 7 ⋮ căn x - 5
=> 7 ⋮ x - 5 đoạn này dễ
a, Với \(x\ge0;x\ne25\)thì \(P=\frac{\sqrt{x}+2}{5-\sqrt{x}}\) đoạn này đúng rồi
\(P>-2\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+2}{5-\sqrt{x}}>-2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+2}{5-\sqrt{x}}+2>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{12-\sqrt{x}}{5-\sqrt{x}}>0\)
Xét 2 trường hợp cùng âm, cùng dương hoặc "trong trái ngoài cùng"
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}>12\\0\le\sqrt{x}< 5\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>144\\0\le x< 25\end{cases}}\)
Làm luôn cho đầy đủ =)
Lời giải:
Ta có:
\(A=x^3-3x^2+x+2=x^2(x-2)-x(x-2)-(x-2)\)
\(A=(x-2)(x^2-x-1)\)
Xét TH \(x^2-x-1<0\Leftrightarrow 4x^2-4x-4<0\)
\(\Leftrightarrow (2x-1)^2-5<0\)
\(\Leftrightarrow (2x-1)^2<5<9\)
\(\Leftrightarrow -3< 2x-1< 3\Leftrightarrow -1< x< 2\)
Thử \(x=0; 1\) có \(x=1\) thỏa mãn.
Xét TH \(x^2-x-1\geq 0\Rightarrow x-2\geq 0\)
Gọi $d$ là ước chung lớn nhất giữa \((x-2, x^2-x-1)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-2\vdots d\rightarrow (x-2)(x+1)\vdots d\\ x^2-x-1\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (x^2-x-2)-(x^2-x-1)\vdots d\)
\(\Leftrightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)
Do đó $x-2, x^2-x-1$ nguyên tố cùng nhau. Do đó để A là số chính phương thì bản thân $x-2$ và $x^2-x-1$ là số chính phương
Đặt \(\left\{\begin{matrix} x-2=a^2\\ x^2-x-1=b^2\end{matrix}\right.\)
Xét \(x^2-x-1=b^2\) với \(b\in\mathbb{Z}\). Ta có thể coi \(b\geq 0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4x-4=(2b)^2\)
\(\Leftrightarrow (2x-1)^2-5=(2b)^2\)
\(\Leftrightarrow 5=(2x-1-2b)(2x-1+2b)\)
Vì \(2x-1-2b\leq 2x-1+2b\) nên xét các TH sau:
TH1: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1-2b=1\\ 2x-1+2b=5\end{matrix}\right.\Rightarrow 4x-2=6\Rightarrow x=2\) (thỏa mãn)
TH2: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1-2b=-5\\ 2x-1+2b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow 4x-2=-6\Rightarrow x=-1\) (vô lý vì \(x-2\geq 0\) )
Vậy \(x\in\left\{1; 2\right\}\)