Chứng minh rằng n5 – n ⋮30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VQ
1
17 tháng 10 2015
n^5-n= (n-1)n(n+1)(n^2+1)
(n-1)n(n+1) tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3(1)
(n-1)n tích 2 ssoo tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2(2)
còn n^5 và có cùng chữ số tận cuunfg nên hiệu có chữ sô tận cùng là 0 chia hết cho 5(3)
từ (1)(2)(3) => chia hết cho 30
NL
3
HN
1
2 tháng 11 2021
\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Do \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\forall n\in Z^+\)
\(\Rightarrow n^5-n⋮5\forall n\in Z^+\)
NV
1
NN
1
Y
19 tháng 8 2018
Nếu n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau
\(\Rightarrow n^5-n⋮10\)
Ta có:
\(n^5-n\)
\(=n\left(n^4-1\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\)
Vì \(n\left(n-1\right)\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮2\)
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮10\left(1\right)\)
Ta có: \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\)
Vì \(n\left(n-1\right)\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2\)
\(\Rightarrow5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮10\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮10\)
\(\Rightarrow n^5-n⋮10\)
Vậy n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau
20 tháng 9 2023
a) Xét hiệu : \(n^5-n\)
Đặt : \(A\text{=}n^5-n\)
Ta có : \(A\text{=}n.\left(n^4-1\right)\text{=}n.\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(A\text{=}n.\left(n+1\right).\left(n-1\right).\left(n^2+1\right)\)
Vì : \(n.\left(n+1\right)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp .
\(\Rightarrow A⋮2\)
Ta có : \(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(A\text{=}n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(A\text{=}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n.\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)
Ta thấy : \(\left\{{}\begin{matrix}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮5\\5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\end{matrix}\right.\) vì tích ở trên là tích của 5 số liên tiếp nên chia hết cho 5.
Do đó : \(A⋮10\)
\(\Rightarrow A\) có chữ số tận cùng là 0.
Suy ra : đpcm.
b) Vì \(n⋮3̸\) nên n có dạng : \(3k+1hoặc3k+2\left(k\in N\right)\)
Với : n= 3k+1
Thì : \(n^2\text{=}9k^2+6k+1\)
Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.
Với : n=3k+2
Thì : \(n^2\text{=}9k^2+12k+4\text{=}9k^2+12k+3+1\)
Do đó : \(n^2\) chia 3 dư 1.
Suy ra : đpcm.
PT
1
Bn tham khảo tại đây nha:
https://hoc247.net/hoi-dap/toan-8/chung-minh-n-5-n-chia-het-cho-30-faq417269.html
Ta có: \(n^5-n\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Vì n;n-1;n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp
nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)
Vì \(n^5-n⋮5\)
mà \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮6\)
nên \(n^5-n⋮30\)