Question

[Phạm Trà Giang]

Giúp mình mấy bài mình đánh dấu với

Answer 1

[Victorique de Blois]

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\)

có : \(\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\Leftrightarrow-\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\le-3ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\ge\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2\right]\) mà \(a+b\ge1\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\ge\frac{1}{4}\)

Answer 2

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

mình biết bài nào thì mình làm nhé ;)

b) Ta có : a³ + b³ = ( a + b )( a² - ab + b² ) ≥ a² - ab + b²

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel : \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\)(1)

Xét bđt phụ \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)dấu "=" <=> a=b ta có : <=> 4ab ≤ a² + 2ab + b² ) <=> 0 ≤ ( a - b )² 

Áp dụng : \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow-ab\ge-\frac{1}{4}\)(2)

Từ (1) và (2) => a² - ab + b² ≥ 1/2 - 1/4 = 1/4

hay a³ + b³ ≥ 1/4 (đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1/2