Cho A=\(\frac{1}{1^2}\)+\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+.........+\frac{1}{2013^2}\)
Chứng minh A không phải là số tự nhiên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 5 2016
Ta có: A > 0 (Vì A gồm các phân số dương)
Ta lại có:
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2014.2015}_{ }+\frac{1}{2015.2016}\)
\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\)
\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2016}< 1\)
\(\Rightarrow A< 1\)
Vì \(0< A< 1\) nên A không phải là số tự nhiên (đpcm)
PN
9 tháng 5 2016
Ta thấy A = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2+...+ 1/2016^2
=> A < 1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) +....+ 1/(2015.2016)
=> A < 1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/2015-1/2016
=> A < 1 - 1/2016 < 1
Mặt khác :1/2^2 > 0
1/3^2 > 0
1/4^2 > 0
..........
1/2016^2 > 0
=> A > 0
=> 0<A<1
=> A ko phải số tự nhiên
Vậy a ko phải số tự nhiên
18 tháng 4 2019
Ta có: \(\frac{1}{2^2}>0\)
\(\frac{1}{3^2}>0\)
................
\(\frac{1}{100^2}>0\)
\(\Rightarrow A>0\left(1\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
...................
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{100}< 1\)
\(\Rightarrow A< 1\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow0< A< 1\)
Vậy A ko là STN.
MN
18 tháng 4 2019
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)
...
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=1-\frac{1}{100}\)
\(=\frac{99}{100}< 1\)
Vậy A không phải là một số tự nhiên
QP
4
24 tháng 4 2016
Ta có:\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2012^2}>0\)
Vì: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}>\frac{1}{2.3}\)
\(\frac{1}{4^2}>\frac{1}{3.4}\)
..........
\(\frac{1}{2012^2}>\frac{1}{2011.2012}\)
\(\Rightarrow A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2011.2012}\)
\(\Rightarrow A<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(\Rightarrow A<1-\frac{1}{2012}\)
\(\Rightarrow A<1\)
Vì A>0;A<1
=>A không phải số tự nhiên
=>ĐPCM
24 tháng 4 2016
Quy đồng A lên thì tử số chia hết cho 20112 còn mẫu số không chia hết cho 20112 vì có \(\frac{1}{2011^2}\) khi quy đồng thì tử không chia hết cho 20112
Vậy A không phải là số tự nhiên
20 tháng 5 2016
Xét 1/2 + 1/3 + 1/4
1/2 + 1/4 = (2+4)/(2.4) = 2.3/[(3-1)(3+1)] = 2.3/(3^2 - 1) > 2.3/3^2 = 2/3 = 2.(1/3)
---> 1/2+1/3+1/4 > 3.(1/3) = 1 (1)
Lại xét 1/5 + 1/6 + ... + 1/9 + ... + 1/13
1/8+1/10 = (8+10)/(8.10) = 2.9/(9^2 - 1) > 2.9/9^2 = 2/9 = 2.(1/9)
Tương tự cm được 1/7+1/11 > 2.(1/9) ; 1/6+1/12 > 2.1/9; ...; 1/5+1/13 > 2.1/9
---> 1/5+1/6+ ... + 1/13 > 9.(1/9) = 1 (2)
Tg tự, cm được 1/14+1/15+ ... + 1/38 > 25.(1/25) = 1 (3)
(1),(2),(3) ---> A> 3 (*)
Mặt khác
1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 (4)
1/4 + 1/5 + 1/20 = 1/2 (5)
1/7 + 1/8 + 1/9 < 3.(1/7) = 3/7 (6)
1/10+1/11+ ...+1/14 < 5.(1/10) = 1/2 (7)
1/15+1/16+ ...+1/19 < 5.(1/15) = 1/3 (8)
1/21+1/22+ ...+1/26 < 6.(1/21) = 2/7 (9)
1/27+1/28+ ...+1/50 < 24.(1/27) = 8/9 (10)
Cộng (4),(5),(6),(7), (8),(9),(10) ---> a < 2 + 5/7 + 11/9 < 2 + 7/9 + 11/9 = 4 (**)
Từ (*) và (**) ---> 3 < a < 4 ---> a ko phải là số tự nhiên.
A=\(\frac{1}{1^2}\)+\(\frac{1}{2^2}\)+\(\frac{1}{3^2}\)+...+\(\frac{1}{2013^2}\)
A=1+\(\frac{1}{2^2}\)+\(\frac{1}{3^2}\)+...+\(\frac{1}{2013^2}\)>1
A=1+\(\frac{1}{2^2}\)+\(\frac{1}{3^2}\)+...+\(\frac{1}{2013^2}\)<1+\(\frac{1}{1\cdot2}\)+\(\frac{1}{2\cdot3}\)+...+\(\frac{1}{2012\cdot2013}\)
A<1+1-\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{3}\)+...+\(\frac{1}{2012}\)-\(\frac{1}{2013}\)
A<2-\(\frac{1}{2013}\)<2
=>A<2
Vì A>1;A<2=>1<A<2
=>A không phải là STN