Question

[Đào Đức Mạnh]

Tìm 3 chữ số tận cùng của lũy thừa sau: \(A=2^{3^{9000}}.47^{9^{4499}}+1001^{20000}\)

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Có \(2^{3^{9000}}=2^{3^2.\left(3^2\right)^{4499}}=\left(2^{3^2}\right)^{9^{4499}}=512^{9^{4499}}\)

=> A = \(\left(512.47\right)^{9^{4499}}+1001^{20000}=24064^{9^{4499}}+1001^{20000}\)

Ta có: \(24064^{9^{4499}}\) đồng dư với \(64^{9^{4499}}\) ( mod 1000)

+) xét: 9²  đồng dư với 1 (mod 20) => 9⁴⁴⁹⁹ = (9²)²²⁴⁹ .9 đồng dư với 1.9 = 9 ( mod 20)

=> 9⁴⁴⁹⁹ = 20k + 9 

=> \(64^{9^{4499}}=\left(2^6\right)^{20k+9}=\left(2^{20}\right)^{6k}.2^{6.9}=\left(2^{20}\right)^{6k+2}.2^{14}\)

Mà 2²⁰ đồng dư với 576 (mod 1000) nên \(64^{9^{4499}}=\left(2^{20}\right)^{6k+2}.2^{14}\) đồng dư với 576.16384 = 9 437 184 (mod 1000)

=> \(64^{9^{4499}}\) đồng dư với 184 mod 1000

=> \(24064^{9^{4499}}\) đồng dư với 184 (mod 1000)

+) ta có: 1001^{20 000} đồng dư với 1^{20 000} = 1 (mod 1000)

=> A  đồng dư với 184 + 1 = 185 (mod 1000)

Vậy 3 chữ số tận cùng của A là 185