CMR:
a^3+b^3+c^3>=abc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 8 2018
\(a^3+1+1\ge3a\)
Tương tự với \(b^3,c^3\)
Suy ra :\(a^3+b^3+c^3\ge3a+3b+3c-6\)\(=3a+3b+3c-2\times3\sqrt[3]{abc}\ge\)\(3a+3b+3c-2a-2b-2c=a+b+c\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
LH
1
18 tháng 11 2019
\(a+b+c=abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
Ta có:
\(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}=\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge1\)
để ý \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) nha mọi người:)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2023
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:
\(\dfrac{ab}{a^2+b^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2}=\dfrac{1}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{1}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+a^2\right)}\)
\(\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)}\ge\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge a^3+b^3+c^3+\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2}\right)^2.\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\dfrac{9\left(a^3+b^3+c^3\right)}{8}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{27abc}{8}}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
T
0
DD
1
6 tháng 6 2017
Ta có :
Giả thuyết : a + b + c = 0
(a + b + c)3 = 0
a3 + b3 + c3 + 3.(a + b)(b + c)(c + a) = 0
Từ a + b + c = 0
=> \(\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)
=> a3 + b3 + c3 + 3.(-c)(-a)(-b) = 0
=> a3 + b3 + c3 = 3abc
HN
9 tháng 7 2018
Áp dụng bđt cô si dạng engel cho 3 số dương:
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b = c
Chúc bạn học tốt!
NT
0
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge3.\sqrt[3]{\left(a^3.b^3.c^3\right)}\ge3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số dương ta luôn có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
Đặt \(a^3=x,b^3=y,c^3=z\). Ta có:
\(x+y+z=a^3+b^3+c^3=3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\)
\(\ge3abc^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c