Question

[Quandung Le]

Cho tam giác ABC, các trung tuyến BE và CD. Trên tia đối của tia EB lấy I sao cho \(EI=EB\). Trên tia đối của tia DC lấy KI sao cho DK = DC.

a) CM: A là trung điểm của KI

b) Cho BK và CI cắt nhau ở F. CM: BI, CK, FA đồng quy tại G

c) Cho FA và BC cắt nhau tại P. CM: \(GP=\frac{1}{4}GF\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a)

Ta có: EB=EI(gt)

mà E nằm giữa hai điểm B và I

nên E là trung điểm của BI

Xét tứ giác AICB có

E là trung điểm của đường chéo AC(BE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC trong ΔABC)

E là trung điểm của đường chéo BI(cmt)

Do đó: AICB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒AI=BC và AI//BC(hai cạnh đối trong hình bình hành AICB)(1)

Ta có: DC=DK(gt)

mà D nằm giữa K và C

nên D là trung điểm của KC

Xét tứ giác AKBC có

D là trung điểm của đường chéo KC(cmt)

D là trung điểm của đường chéo AB(CD là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của ΔABC)

Do đó: AKBC là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒AK//BC và AK=BC(hai cạnh đối trong hình bình hành AKBC)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AK=AI(3)

Từ (1) và (2) suy ra AK//AI

mà AK và AI có điểm chung là A

nên K,A,I thẳng hàng(4)

Từ (3) và (4) suy ra A là trung điểm của KI(ddpcm)

b) Sửa đề: Chứng minh BI,CK,FA đồng quy tại một điểm

Ta có: AC//KB(hai cạnh đối trong hình bình hành ACBK)

mà F∈KB

nên AC//KF

Xét ΔIKF có

A là trung điểm của KI(cmt)

AC//KF(cmt)

Do đó: C là trung điểm của IF(định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Ta có: CB//AK(cmt)

mà I∈AK

nên CB//KI

Xét ΔFIK có

C là trung điểm của FI(cmt)

CB//KI(cmt)

Do đó: B là trung điểm của KF(định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Xét ΔFKI có

FA là đường trung tuyến ứng với cạnh KI(A là trung điểm của KI)

IB là đường trung tuyến ứng với cạnh KF(B là trung điểm của KF)

KC là đường trung tuyến ứng với cạnh IF(C là trung điểm của IF)

Do đó: FA,IB,KC cắt nhau tại trọng tâm của ΔFKI

hay FA,IB,KC đồng quy(đpcm)