Cho a > 0, b > 0. Chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2021
b.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế với vế (1); (2) và (3):
\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
TQ
2
VT
4 tháng 1 2018
Ta cần chứng minh BĐT phụ sau là : Với x,y>0 thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow y\left(x+y\right)+x\left(x+y\right)\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
dấu = xảy ra <=> x=y
Áp dụng BĐT phụ đó , ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}=\frac{4}{3}\)
dấu = xảy ra <=>a=b=1/2
4 tháng 1 2018
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\frac{1+1+1}{ab+a+b+1}=\frac{3}{ab+1+1}\)
\(=\frac{3}{a\left(1-a\right)+2}=\frac{3}{a-a^2+2}=\frac{3}{-\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{9}{4}}=\frac{3}{-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}}\)
\(\ge\frac{3}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 5 2021
Lời giải:
a) Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
$a^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}a$
$b^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}b$
$\Rightarrow a^3+b^3+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4}(a+b)=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow a^3+b^3\geq \frac{1}{4}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{3}{ab}=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}\geq \frac{(1+1+1+1)^2}{a^2-ab+b^2+ab+ab+ab}\)
\(=\frac{16}{(a+b)^2}=16\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
DP
1
TN
1 tháng 3 2017
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}=\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwar dạng Engel ta có:
\(\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}\)
\(=\frac{8^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}=VP\)
20 tháng 3 2020
BĐT phụ:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ( đpcm )
Vậy.......
KN
16 tháng 2 2020
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dạng Engel:
\(VT=\frac{1}{4a}+\frac{4}{4b}+\frac{4}{4c}\ge\frac{\left(1+2+2\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{25}{4}\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{5};b=c=\frac{2}{5}\))
16 tháng 2 2020
Ai muốn vào team tui không
Xin lỗi rất nhiều vì đã làm sai quy luật, nội quy ạ
Mong mọi người đừng chửi
Học Tốt
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
<=>\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
<=>\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
<=>\(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
<=>\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
<=>\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Luôn đúng với mọi x,y.
Vậy 1/a+1/b>=4/(a+b). Dấu "=" xảy ra<=>x=y