1 + 2 + ... n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 4 2022
Xét khai triển:
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+xC_n^1+x^2C_n^2+...+x^nC_n^n\)
Đạo hàm 2 vế:
\(n\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^1+2xC_n^2+...+nx^{n-1}C_n^n\)
Tiếp tục đạo hàm 2 vế:
\(\left(n-1\right)n\left(1+x\right)^{n-2}=2C_n^2+2.3xC_n^3+...+\left(n-1\right)nx^{n-2}C_n^n\)
Thay \(x=1\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)n.2^{n-2}=1.2C_n^2+2.3C_n^3+...+\left(n-1\right)nC_n^n\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)n.2^{n-2}+n=C_n^1+1.2C_n^2+...+\left(n-1\right)n.C_n^n\)
\(\Rightarrow S=\left(n-1\right)n.2^{n-2}+n\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2022
Xét khai triển:
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+xC_n^1+x^2C_n^2+...+x^nC_n^n\)
Đạo hàm 2 vế:
\(n\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^1+2xC_n^2+...+n.x^{n-1}C_n^n\)
Thay \(x=1\)
\(\Rightarrow n.2^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\)
\(\Rightarrow n.2^{n-1}+1=C_n^0+C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\)
\(\Rightarrow S=n.2^{n-1}+1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 1 2022
1/...
2/ \(=\lim\dfrac{\dfrac{1}{n\sqrt{n}}-1}{4+\dfrac{1}{n^2\sqrt{n}}}=\dfrac{0-1}{4+0}=-\dfrac{1}{4}\) (chia cả tử-mẫu cho \(n^3\))
3/ \(=\lim\dfrac{3-\left(\dfrac{1}{4}\right)^n}{2.\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4\left(\dfrac{1}{4}\right)^n}=\dfrac{3-0}{2.0+3.0}=\dfrac{3}{0}=+\infty\) (chia tử mẫu cho \(4^n\))
4/ \(=\lim\dfrac{2.2^n+\dfrac{4}{3}.3^n}{1-\dfrac{1}{2}.2^n+3.3^n}=\lim\dfrac{2.\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+\dfrac{4}{3}}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+3}=\dfrac{2.0+\dfrac{4}{3}}{0-\dfrac{1}{2}.0+3}=\dfrac{4}{9}\) (chia tử mẫu cho \(3^n\))
DA
0
HN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2021
\(\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{2}{2n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{\left(n+2\right)-n}{2n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(=\dfrac{n+2}{2n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}-\dfrac{n}{2n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right]\)
15 tháng 9 2021
\(1^2+2^2+...+n^2=1+2\left(1+1\right)+...+n\left(n-1+1\right)=1+2+1.2+3+2.3+...+n+\left(n-1\right)n\)
\(=\left(1+2+3+...+n\right)+\left[1.2+2.3+...+\left(n-1\right)n\right]=\dfrac{\left(n+1\right)\left(\dfrac{n-1}{1}+1\right)}{2}+\dfrac{1.2.3+2.3.3+...+\left(n-1\right)n.3}{3}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+...+\left(n-1\right)n\left[\left(n+1\right)-\left(n-2\right)\right]}{3}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{1.2.3-1.2.3+2.3.4-...-\left(n-2\right)\left(n-1\right)n+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}=\dfrac{3n\left(n+1\right)+2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{6}=\dfrac{2n^3+3n^2+n}{6}=\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{6}n=\dfrac{1}{3}n\left(n^2+\dfrac{3}{2}n+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{3}n\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\left(n+1\right)\)
1 + 2 + ... + n
Số số hạng là :
( n - 1 ) : 1 + 1 = n
Tổng là :
\(\frac{\left(n+1\right).n}{2}\)